Kezdőlap


Feladat:	B.3671	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ablonczy Dávid , Antal László , Bednay Dezső , Bekényi Balázs , Békéssy Herman András , Birkner Tamás , Csörge Péter , Czank Tamás , Dobos Gábor , Estélyi István , Gehér György , Gidófalvy Kitti , Haszpra Tímea , Hegyháti Máté , Hidasi Balázs , Hujter Bálint , Jankó Zsuzsanna , Károlyi Márton , Kiss Katinka , Kiss-Tóth Christian , Komáromy Dani , Kovács Péter , Kovács Péter , Kurgyis Zsuzsanna , Magda Gábor , Nagy-Baló András , Nikházy László , Pálikás Csaba , Poronyi Balázs , Rácz Miklós , Sándor Ágnes Petra , Strenner Balázs , Szabó Botond , Szalóki Dávid , Udvari Balázs , Varga Viktor , Vaskó Richárd
Füzet:	2005/március, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3671

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Bontsuk fel a kifejezésben szereplő zárójeleket:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + x y + x^{2} y^{2} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} . \end{matrix}

Tovább alakítva:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} + x y + 2 y^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = 0, majd y (2 y^{2} + (x^{2} - 3 x) y + 3 x^{2} + x) = 0 \end{matrix}

adódik.
Ha

y = 0

, akkor

x

tetszőleges egész szám lehet, az

(x; 0)

számpár megoldás.
Ha

y \neq 0

, akkor oszthatunk vele, így

y

-ban másodfokú polinomot kapunk:

\begin{matrix} 2 y^{2} + (x^{2} - 3 x) y + 3 x^{2} + x = 0. \end{matrix}

Erre felírva a másodfokú egyenlet megoldóképletét:

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{- (x^{2} - 3 x) \pm \sqrt[]{{(x^{2} - 3 x)}^{2} - 24 x^{2} - 8 x}}{4} . \end{matrix}

A négyzetgyök alatt szereplő kifejezés:

\begin{matrix} x^{4} + 9 x^{2} - 6 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x = x \cdot (x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8) = x (x - 8) {(x + 1)}^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{- x^{2} + 3 x \pm (x + 1) \sqrt[]{x (x - 8)}}{4} . \end{matrix}

A négyzetgyök értéke racionális (ellenkező esetben nem kaphatnánk egész megoldást

y

-ra), és mivel

x (x - 8)

egész szám, azért négyzetszám kell legyen.

x (x - 8) = d^{2}

, átalakítva

x^{2} - 8 x - d^{2} = 0

, ebből

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt[]{64 + 4 d^{2}}}{2} = 4 \pm \sqrt[]{4^{2} + d^{2}} . \end{matrix}

4^{2} + d^{2}

négyzetszám. Triviális megoldás a

d = 0

, egyébként keressük azokat a Pitagoraszi számhármasokat, amelyekben az egyik szám a 4. Ilyen egy van: a 3, 4, 5. Eszerint

d = 0

vagy

d^{2} = 9

.
Ha

d = 0

, akkor

x = 0

vagy

x = 8

, ha

d^{2} = 9

, akkor

x = 9

vagy

x = - 1

.
Ezekhez az értékekhez tartozó

y

értékek:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = 0 & esetén & y & = 0; \\ x & = 8 & esetén & y & = - 10; \\ x & = 9 & esetén & y & = - 6 vagy y = - 21; \\ x & = - 1 & esetén & y & = - 1. \end{matrix} \end{matrix}

Ezeken kívül találtuk még az

y = 0

x

tetszőleges számpár megoldásokat.