Feladat: B.3758 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor ,  Beck Zoltán ,  Harkai Alexandra Dóra 
Füzet: 2005/szeptember, 347. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: B.3758

Legyen az n pozitív páros szám. Írjuk az 1,2,...,n2 számokat egy n×n-es táblázat mezőibe úgy, hogy a táblázat k-adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre (k-1)n+1,(k-1)n+2,...,(k-1)n+n legyenek (k=1,2,...,n).
Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezőit bordó és sárga színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezők fele bordó, a másik fele pedig sárga legyen. (A sakktábla-szerű színezés például egy lehetőség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a bordó és a sárga mezőkön lévő számok összege egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az n2 darab szám mindegyike qn+m alakban szerepel, ahol q és m nemnegatív egészek, és 1mn. Nevezzük az első tagot az n-es résznek, a másodikat pedig a maradéknak. A feladat állítását úgy igazoljuk, hogy megmutatjuk, a sárga színű n-es részek összege egyenlő a bordó színű n-es részek összegével, és a sárga színű maradékok összege egyenlő a bordó színű maradékok összegével. A kétféle tag megkülönböztetését az indokolja, hogy bármelyik sorban az n-es tagok egyenlőek, és bármelyik oszlopban a maradékok egyenlőek. Így, a sárga színű n-es tagokat soronként összegezve láthatjuk, hogy minden sorban az összegük az ugyanazon sorban lévő bordó színű n-es tagok összegével egyenlő, hiszen a tagok mind egyenlőek és a feladat feltételei szerint ugyanannyian vannak. Ugyanezt mondhatjuk el a maradékokról is, amelyeket viszont oszloponként összegzünk: egy oszlopban n darab egyenlő maradék van, ezek fele sárga, fele pedig bordó színű, ezért összegük az oszlopon belül ‐ tehát az egész táblázatban is ‐ egyenlő.