Feladat: 3767. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Domonkos Tamás ,  Dudás János ,  Filep Tamás ,  Lantos Judit ,  Mezei Bálint ,  Paulin Roland ,  Pósa László ,  Szilágyi Zsombor ,  Takátsy Balázs 
Füzet: 2005/május, 311 - 312. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Fizikatörténettel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/január: 3767. fizika feladat

A Royal Society 1679. december 4-i ülésén Robert Hooke, a kurátor, felolvasta Newton levelét, melyben a tudós a következőket írja:
 
A Föld forgásáról szóló tanítás abszurd voltát kimutatandó, a skolasztikusok a következő módon okoskodtak: ejtsünk le egy toronyból egy súlyos tárgyat. Ha a Föld valóban nyugatról kelet felé forogna, akkor a tárgy zuhanása közben a torony elfordulna, és így azt nem a torony lábánál, hanem attól nyugatra találnánk meg. A gondolatmenet hibás ‐ érvel Newton ‐, mert nem veszi figyelembe a tárgy kezdősebességét. S mivel a torony teteje távolabb van a Föld középpontjától, mint a lába, a tárgy kezdősebessége az elejtés pillanatában nagyobb, mint lenn. Ezért a tárgyat a függőlegestől nem nyugatra, hanem keletre kell megtalálnunk.
 

Hová esik a tárgy valójában? (Legyen a torony az egyszerűség kedvéért az Egyenlítőn).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás.1 Tekintsünk egy h magas tornyot az Egyenlítőn, melynek tetejéről egy test ‐ a toronyhoz képest ‐ kezdősebesség nélkül esik le.
Írjuk le a mozgást az ,,állócsillagokhoz'' rögzített inerciarendszerben! Ebben a rendszerben a Föld ω0 szögsebességgel forog, a testnek tehát (R+h)ω0 kezdősebessége lesz (R a Föld sugarát jelöli).
Az elengedett test majdnem pontosan a torony által kijelölt ,,függőleges'' irányban kezd gyorsulni. A test távolsága a Föld középpontjától jó közelítéssel az
r(t)=R+h-g2t2(1)
összefüggés szerint változik, és az esés teljes ideje
T=2hg(2)
lesz. (Ez a közelítés azért alkalmazható, mert hR, és így a mozgás rövid szakaszán a Föld gravitációs erőterének függőleges komponense állandónak tekinthető.)
A testre a Föld centrális gravitációs erőtere hat, emiatt a Föld középpontjára vonatkoztatott perdület időben állandó marad. A perdület (impulzusmomentum) megmaradásának törvényét egy tömegpontra
(R+h)2ω0=r2(t)ω(t)(3)
alakban írhatjuk fel, ahol ω(t) a test pillanatról pillanatra változó szögsebessége. Ez lényegében Kepler II. törvénye (a területi sebesség törvénye), amely most nem a Nap körül mozgó bolygókra, hanem a Föld körül ,,keringő'' (pontosabban fogalmazva: az ellipszispályájának csak egy nagyon kis részét befutó) testre vonatkozik.
A test szögsebessége (vagyis a Föld középpontját és a testet összekötő egyenes irányának változási sebessége) (1) és (3) alapján
ω(t)=(R+h)2(R+h-g2t2)2ω0,
amit g2t2R+h miatt
ω(t)=[1-gt22(R+h)]-2ω0(1+gt2R)ω0
alakban is felírhatunk.
Az esés teljes T időtartama alatt a test rádiuszvektora
Δα1=0Tω(t)dt(T+gT33R)ω0
szöggel, míg ugyanennyi idő alatt a torony alja csak
Δα2=Tω0
szöggel fordul el kelet felé. A földet érő test tehát a torony aljától kelet felé
Δs=R(Δα1-Δα2)=13gω0T3=23hω02hg
távolságra esik le. Ha például h=100 m, akkor Δs2,2 cm.
1Lásd még a ,,Merre esik az alma a fájától?'' című cikket lapunk 297. oldalán!