Feladat:	3767. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Domonkos Tamás ,  Dudás János ,  Filep Tamás ,  Lantos Judit ,  Mezei Bálint ,  Paulin Roland ,  Pósa László ,  Szilágyi Zsombor ,  Takátsy Balázs
Füzet:	2005/május, 311 - 312. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Fizikatörténettel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: 3767. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás.1 Tekintsünk egy $h$ magas tornyot az Egyenlítőn, melynek tetejéről egy test ‐ a toronyhoz képest ‐ kezdősebesség nélkül esik le. Írjuk le a mozgást az ,,állócsillagokhoz'' rögzített inerciarendszerben! Ebben a rendszerben a Föld ${\omega }_0$ szögsebességgel forog, a testnek tehát $\left(R+h\right){\omega }_0$ kezdősebessége lesz ($R$ a Föld sugarát jelöli). Az elengedett test majdnem pontosan a torony által kijelölt ,,függőleges'' irányban kezd gyorsulni. A test távolsága a Föld középpontjától jó közelítéssel az $\begin{array}{c}{\displaystyle r\left(t\right)=R+h-\frac{g}{2}{t}^2}\end{array}$ (1) összefüggés szerint változik, és az esés teljes ideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\sqrt[]{\frac{2h}{g}}}\end{array}$ (2) lesz. (Ez a közelítés azért alkalmazható, mert $h\ll R$, és így a mozgás rövid szakaszán a Föld gravitációs erőterének függőleges komponense állandónak tekinthető.) A testre a Föld centrális gravitációs erőtere hat, emiatt a Föld középpontjára vonatkoztatott perdület időben állandó marad. A perdület (impulzusmomentum) megmaradásának törvényét egy tömegpontra $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(R+h\right)}^2{\omega }_0=r^2\left(t\right)\omega \left(t\right)}\end{array}$ (3) alakban írhatjuk fel, ahol $\omega \left(t\right)$ a test pillanatról pillanatra változó szögsebessége. Ez lényegében Kepler II. törvénye (a területi sebesség törvénye), amely most nem a Nap körül mozgó bolygókra, hanem a Föld körül ,,keringő'' (pontosabban fogalmazva: az ellipszispályájának csak egy nagyon kis részét befutó) testre vonatkozik. A test szögsebessége (vagyis a Föld középpontját és a testet összekötő egyenes irányának változási sebessége) (1) és (3) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega \left(t\right)=\frac{{\left(R+h\right)}^2}{{\left(R+h-\frac{g}{2}{t}^2\right)}^2}{\omega }_0\mathrm{,}}\end{array}$ amit $\frac{g}{2}{t}^2\ll R+h$ miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega \left(t\right)={\left[1-\frac{g{t}^2}{2\left(R+h\right)}\right]}^{-2}{\omega }_0\approx \left(1+\frac{g{t}^2}{R}\right){\omega }_0}\end{array}$ alakban is felírhatunk. Az esés teljes $T$ időtartama alatt a test rádiuszvektora $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\alpha }_1=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\omega \left(t\right)\text{d}t\approx \left(T+\frac{g{T}^3}{3R}\right){\omega }_0}\end{array}$ szöggel, míg ugyanennyi idő alatt a torony alja csak $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\alpha }_2=T{\omega }_0}\end{array}$ szöggel fordul el kelet felé. A földet érő test tehát a torony aljától kelet felé $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=R\left(\Delta {\alpha }_1-\Delta {\alpha }_2\right)=\frac{1}{3}g{\omega }_0{T}^3=\frac{2}{3}h{\omega }_0\sqrt[]{\frac{2h}{g}}}\end{array}$ távolságra esik le. Ha például $h=100$ m, akkor $\Delta s\approx 2\mathrm{,}2$ cm. 1Lásd még a ,,Merre esik az alma a fájától?'' című cikket lapunk 297. oldalán!