Feladat: 3756. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Buday Péter ,  Fodor Dávid ,  Gyenis András ,  Incze Attila ,  Molnár András ,  Széchenyi Gábor ,  Werner Miklós 
Füzet: 2005/május, 308 - 309. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bernoulli-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: 3756. fizika feladat

Függőleges vízsugár 2m/s sebességgel érkezik egy vízszintes, merev síklapra. Mekkora a lapon szétterülő víz sebessége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelöljük a becsapódó vízsugár átmérőjét 2r-rel, a víz sebességét pedig v0-lal!
A merev síklapnak csapódó vízsugár forgásszimmetrikusan szétterül a lap mentén, sebessége (a becsapódás helyének kis környezetét leszámítva) jó közelítéssel vízszintes lesz. (Nagy becsapódási sebességeknél ez nem feltétlenül igaz; a víz fröcskölve is ,,visszaverődhet'' a merev síkfelületről.)
A szimmetriatengelytől R távolságban érvényes sebesség nagyságát c-vel, a vízréteg vastagságát pedig d(R)-rel fogjuk jelölni, és meghatározzuk ezeket a mennyiségeket. Ehhez két fizikai törvényt használunk fel: az anyagmegmaradást és a mechanikai energia megmaradásának törvényét. (Az utóbbi esetünkben azért alkalmazható, mert a síklap merev, tehát az ütközés során a külső erők nem végeznek munkát, továbbá a belső súrlódás hatásától is eltekintünk, hiszen a víz viszkozitása viszonylag kicsi.)
Tekintsünk egy kicsiny Δt időtartamot. Ennyi idő alatt a becsapódó vízsugárban
V1=r2πv0Δtϱ
tömegű víz érkezik (ϱ a víz sűrűsége), egy R sugarú kör (pontosabban: hengerpalást) mentén pedig
V2=2Rπv(R)d(R)Δtϱ
víztömeg távozik az ütközés helyszínéről. Ez a két térfogat ‐ az anyagmegmaradás törvénye értelmében ‐ meg kell egyezzen, tehát
r2πv0Δtϱ=2Rπv(R)d(R)Δtϱ,
azaz
v(R)v0=r22Rd(R).(1)

Hasonló módon fogalmazhatjuk meg az energia megmaradásának törvényét. A helyzeti energia a síklap mentén nem változik, az érkező és a távozó víz mozgási energiájának egyenlősége pedig így írható:
12r2πv0Δtϱv02=122Rπv(R)Δtd(R)ϱv(R)2,
azaz
(v(R)v0)3=r22Rd(R).(2)

Az (1) és (2) egyenletek jobb oldala megegyezik, tehát a bal oldaluk is egyenlő kell legyen, ahonnan
v(R)=v0
adódik. A szétterülő víz sebessége tehát a síklapon nem függ a helyétől, mindenhol 2 m/s nagyságú. A vízhártya vastagsága:
d(R)=r22R,
tehát helyről helyre változik, a víz felszíne pedig forgási hiperboloid alakú.
 
Megjegyzések. 1. A lapnak csapódó vízsugár sebessége és ezzel együtt a vízsugár geometriai sugara a függőlegesen lefelé ható nehézségi erő hatására helyről helyre változik: a laphoz közeledve v növekszik, r pedig csökken. A megoldás során ettől a hatástól, a vízsugár elvékonyodásától eltekintettünk.
2. Többen a Bernoulli-törvényre hivatkozva jutottak arra a következtetésre, hogy a szétterülő folyadék sebességének nagysága mindenhol ugyanakkora. Ez a megoldás egyenértékű a fentivel, hiszen a Bernoulli-törvény éppen az áramló folyadék energiájának megmaradását kifejező összefüggés.