Feladat:	3756. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buday Péter ,  Fodor Dávid ,  Gyenis András ,  Incze Attila ,  Molnár András ,  Széchenyi Gábor ,  Werner Miklós
Füzet:	2005/május, 308 - 309. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Bernoulli-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: 3756. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a becsapódó vízsugár átmérőjét $2r$-rel, a víz sebességét pedig $v_0$-lal! A merev síklapnak csapódó vízsugár forgásszimmetrikusan szétterül a lap mentén, sebessége (a becsapódás helyének kis környezetét leszámítva) jó közelítéssel vízszintes lesz. (Nagy becsapódási sebességeknél ez nem feltétlenül igaz; a víz fröcskölve is ,,visszaverődhet'' a merev síkfelületről.) A szimmetriatengelytől $R$ távolságban érvényes sebesség nagyságát $c$-vel, a vízréteg vastagságát pedig $d\left(R\right)$-rel fogjuk jelölni, és meghatározzuk ezeket a mennyiségeket. Ehhez két fizikai törvényt használunk fel: az anyagmegmaradást és a mechanikai energia megmaradásának törvényét. (Az utóbbi esetünkben azért alkalmazható, mert a síklap merev, tehát az ütközés során a külső erők nem végeznek munkát, továbbá a belső súrlódás hatásától is eltekintünk, hiszen a víz viszkozitása viszonylag kicsi.) Tekintsünk egy kicsiny $\Delta t$ időtartamot. Ennyi idő alatt a becsapódó vízsugárban $\begin{array}{c}{\displaystyle V_1=r^2\pi \cdot v_0\Delta t\varrho }\end{array}$ tömegű víz érkezik ($\varrho$ a víz sűrűsége), egy $R$ sugarú kör (pontosabban: hengerpalást) mentén pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle V_2=2R\pi \cdot v\left(R\right)\cdot d\left(R\right)\Delta t\varrho }\end{array}$ víztömeg távozik az ütközés helyszínéről. Ez a két térfogat ‐ az anyagmegmaradás törvénye értelmében ‐ meg kell egyezzen, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2\pi \cdot v_0\Delta t\varrho =2R\pi \cdot v\left(R\right)\cdot d\left(R\right)\Delta t\varrho \mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v\left(R\right)}{v_0}=\frac{r^2}{2Rd\left(R\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Hasonló módon fogalmazhatjuk meg az energia megmaradásának törvényét. A helyzeti energia a síklap mentén nem változik, az érkező és a távozó víz mozgási energiájának egyenlősége pedig így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{r}^2\pi \cdot v_0\Delta t\varrho \cdot v_0^2=\frac{1}{2}2R\pi \cdot v\left(R\right)\Delta td\left(R\right)\varrho \cdot v{\left(R\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{v\left(R\right)}{v_0}\right)}^3=\frac{r^2}{2Rd\left(R\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az (1) és (2) egyenletek jobb oldala megegyezik, tehát a bal oldaluk is egyenlő kell legyen, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(R\right)=v_0}\end{array}$ adódik. A szétterülő víz sebessége tehát a síklapon nem függ a helyétől, mindenhol 2 m/s nagyságú. A vízhártya vastagsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(R\right)=\frac{r^2}{2R}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát helyről helyre változik, a víz felszíne pedig forgási hiperboloid alakú.   Megjegyzések. 1. A lapnak csapódó vízsugár sebessége és ezzel együtt a vízsugár geometriai sugara a függőlegesen lefelé ható nehézségi erő hatására helyről helyre változik: a laphoz közeledve $v$ növekszik, $r$ pedig csökken. A megoldás során ettől a hatástól, a vízsugár elvékonyodásától eltekintettünk. 2. Többen a Bernoulli-törvényre hivatkozva jutottak arra a következtetésre, hogy a szétterülő folyadék sebességének nagysága mindenhol ugyanakkora. Ez a megoldás egyenértékű a fentivel, hiszen a Bernoulli-törvény éppen az áramló folyadék energiájának megmaradását kifejező összefüggés.