Kezdőlap


Feladat:	C.798	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cserép Máté
Füzet:	2005/december, 525 - 526. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: C.798, 1970/november: F.1742, 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vezessük be a $2^{x} = a > 0$ új változót. Helyettesítés és rendezés után a következő, $a$ -ban másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 3 a^{2} + (3 x - 10) a + 3 - x = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} a_{1,2} = \frac{- (3 x - 10) \pm \sqrt[]{{(3 x - 10)}^{2} - 12 (3 - x)}}{6} . \end{matrix}

A gyökjel alatt a kijelölt műveleteket elvégezve

{(3 x - 8)}^{2}

áll. Azaz

\begin{matrix} a_{1} & = \frac{10 - 3 x + 3 x - 8}{6} = \frac{1}{3} és 2^{x} = \frac{1}{3} -ból x_{1} = log_{2} \frac{1}{3} \approx - 1, 585, \\ a_{2} & = \frac{10 - 3 x - 3 x + 8}{6} = 3 - x, vagyis 2^{x} = 3 - x . \end{matrix}

Ábrázoljuk ez utóbbi két függvényt a koordinátarendszerben. A

2^{x}

függvény szigorúan monoton nő, a

3 - x

pedig szigorúan monoton csökken, ezért legfeljebb egy közös pontjuk lehet. Helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ez az

x = 1

helyen van. Tehát az egyenlet megoldásai:

x_{1} = log_{2} \frac{1}{3}

és

x_{2} = 1