Feladat: C.794 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2006/február, 86 - 87. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/január: C.794

Egy gömb két párhuzamos síkmetszetének területe 9π és 16π. A síkok távolsága egységnyi. Mekkora a gömb felszíne?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A metsző síkok helyzete kétféle lehet attól függően, hogy a gömb középpontja a két sík ,,között'' van-e vagy sem. Tekintsük a gömbnek egy olyan síkmetszetét, amely átmegy a gömb középpontján és merőleges a metsző síkokra (1. ábra) A metszet mindkét esetben egy-egy főkör, amely a metsző síkokból párhuzamos húrokat metsz ki. Ezek hossza a 9π, illetve 16π területű kör átmérője, 6, illetve 8 egység. Jelölje h a gömb középpontjának a 16π területű körmetszettől mért távolságát. A síkmetszeten ez a főkör középpontjának a hosszabbik, 8 egységnyi húrtól mért távolsága. A középpontnak a rövidebbik húrtól mért d távolsága így 1-h az első esetben, illetve 1+h a másodikban.

 
 

Mindkét esetben két derékszögű háromszög jön létre, ezek átfogója R, a gömb sugara. Pitagorasz tétele szerint mindkét esetben R2=32+d2=42+h2. Az első esetben innen -2h=6 következik, ami nem lehetséges, hiszen h pozitív. A második esetben 2h=6, azaz h=3, ahonnan R2=42+h2 alapján kapjuk, hogy R=5. A gömb felszíne ekkor 4πR2=100π.
 
Megjegyzések. 1. Figyelemre méltó, ahogy a feladat elrendezésében a 3;4;5 oldalú pitagoraszi háromszög két példánya illeszkedik.
2. Ha a h mennyiség negatív értékét is megengedjük, akkor feleslegessé válik a feladat esetszétválasztása.