Kezdőlap


Feladat:	C.794	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2006/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: C.794

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A metsző síkok helyzete kétféle lehet attól függően, hogy a gömb középpontja a két sík ,,között'' van-e vagy sem. Tekintsük a gömbnek egy olyan síkmetszetét, amely átmegy a gömb középpontján és merőleges a metsző síkokra (1. ábra) A metszet mindkét esetben egy-egy főkör, amely a metsző síkokból párhuzamos húrokat metsz ki. Ezek hossza a $9 π$ , illetve $16 π$ területű kör átmérője, 6, illetve 8 egység. Jelölje $h$ a gömb középpontjának a $16 π$ területű körmetszettől mért távolságát. A síkmetszeten ez a főkör középpontjának a hosszabbik, $8$ egységnyi húrtól mért távolsága. A középpontnak a rövidebbik húrtól mért $d$ távolsága így $1 - h$ az első esetben, illetve $1 + h$ a másodikban.

Mindkét esetben két derékszögű háromszög jön létre, ezek átfogója

R

, a gömb sugara. Pitagorasz tétele szerint mindkét esetben

R^{2} = 3^{2} + d^{2} = 4^{2} + h^{2}

. Az első esetben innen

- 2 h = 6

következik, ami nem lehetséges, hiszen

h

pozitív. A második esetben

2 h = 6

, azaz

h = 3

, ahonnan

R^{2} = 4^{2} + h^{2}

alapján kapjuk, hogy

R = 5

. A gömb felszíne ekkor

4 π R^{2} = 100 π .

Megjegyzések. 1. Figyelemre méltó, ahogy a feladat elrendezésében a

3; 4; 5

oldalú pitagoraszi háromszög két példánya illeszkedik.
2. Ha a

h

mennyiség negatív értékét is megengedjük, akkor feleslegessé válik a feladat esetszétválasztása.