Feladat: B.3707 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szalóki Dávid 
Füzet: 2005/március, 151 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok, Tetraéderek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/február: B.3707

Az ABCD tetraéder élei rendre AB=c, BC=a, CA=b, DA=a1, DB=b1, végül DC=c1. Legyen h a tetraéder D csúcsából induló súlyvonalának a hossza. Igazoljuk, hogy
h2=13(a12+b12+c12)-19(a2+b2+c2).

Megoldás. Irányítsuk a megadott szakaszokat az ábrának megfelelően.
 
 

Használjuk fel, hogy egy tetszőleges vonatkoztatási pontból (D) a háromszög súlypontjába mutató vektor egyenlő a vonatkoztatási pontból a háromszög csúcsaiba mutató vektorok számtani közepével.
Vagyis
h=a1+b1+c13.
Írjuk fel az a, b, c vektorokat az a1, b1, c1 vektorok segítségével:
a=b1-c1,b=c1-a1,c=a1-b1.
Helyettesítsük be ezeket a bizonyítandó egyenlőségbe, majd a vektorok skaláris szorzásának tulajdonságait felhasználva végezzünk ekvivalens átalakításokat:
(a1+b1+c13)2=a12+b12+c123-(b1-c1)2+(c1-a1)2+(a1-b1)29,19(a12+b12+c12+2a1b1+2a1c1+2b1c1)==13(a12+b12+c12)-19(2a12+2b12+2c12-2a1b1-2a1c1-2b1c1),19(3a12+3b12+3c12)=13(a12+b12+c12),


ami pedig már nyilvánvaló azonosság, vagyis bármely tetraéderre igaz az állítás.
 
Megjegyzés. A Stewart1-tétel néven ismert összefüggés egy kevéssé közismert, igen hasznos átfogalmazásának felhasználásával a megoldás lépései átrendezhetők.
Maga a Stewart-tétel Coxeter2 ‐ Greitzer: Az újrafelfedezett geometria (Gondolat Kiadó, Budapest, 1977) című remek könyvének 22. oldalán az alábbi formában szerepel:
 
 

,,Legyen az ábrán látható AX Ceva-féle szakasz hossza p. Ha az X pont a BC oldalt a BX=m és XC=n hosszúságú szakaszokra osztja, akkor
a(p2+mn)=b2m+c2n.''(S)
Ha itt a szokásos módon bevezetjük a λ=ma, μ=na ,,súlyokat'', akkor λ+μ=1 és (S) átrendezésével az alábbi, ,,négyszakasz-tételnek'' nevezhető alakhoz jutunk:
AX2=λAC2+μAB2-λμBC2.(N)
A tétel fenti alakja felidézheti a szakasz adott arányú osztópontjába mutató helyvektor jól ismert AX=λAC+μAB felírását és ezzel (N) egy másfajta, a feladat közölt megoldásához hasonló vektoralgebrai bizonyítására is rámutat. Az összefüggés a koszinusztétel sajátos átfogalmazásának is tekinthető (egy másik bizonyítása épp ezt használja föl); (N)-ben viszont már nem szerepel a koszinuszfüggvény. Ilyen típusú ismert összefüggés az úgynevezett paralelogramma tétel is: a koszinuszfüggvény csupán a bizonyításban vesz részt, az eredményből már ideális katalizátorként eltűnik.
A fenti (N) alak speciális esetként (λ=μ=12) tartalmazza a súlyvonaltétel néven ismert összefüggést és így magát a paralelogramma tételt is. Ebben a formában talán jobban látszik, hogy a négy adott elrendezésű szakasz közül bármelyik kifejezhető a további három segítségével.
Az is ellenőrizhető, hogy ha a λ, μ számokat az ismert módon előjeles arányoknak tekintjük, akkor a tétel változatlan formában igaz marad akkor is, ha az X a BC egyenes tetszőleges pontja.
E hosszúra nyúlt bevezető után nézzük, hogyan oldható meg a feladat a négyszakasz-tétel ismételt alkalmazásával.
 
 

Ha A1 jelöli a BC oldal felezőpontját, S pedig az ABC lap súlypontját, akkor a DAA1 háromszögben az ismert osztásarányok alapján (N) szerint:
DS2=23DA12+13DA2-29AA12.
A súlyvonaltétel kétszeri alkalmazásával a feladat jelölései szerint:
DA12=12DB2+12DC2-14BC2=12b12+12c12-14a2,
illetve
AA12=12AC2+12AB2-14BC2=12b2+12c2-14a2.
Behelyettesítve és rendezve:
h2=23(12b12+12c12-14a2)+13a12-29(12b2+12c2-14a2)==13(a12+b12+c12)-19(a2+b2+c2),
és ezt kellett bizonyítani.
Látható, hogy a közölt megoldás vektorszámítási lépéseinek lényegét érdemes leválasztani a konkrét feladatról; így általában is használható összefüggéshez jutunk. Jobban láthatók az esetleges általánosítások is: a négyszakasz-tétel birtokában világos, hogy a feladat lényegében egyfajta ,,hétszakasz''-egyenlőség formájában kapcsolja össze az ABC háromszög síkjának tetszőleges S pontjával együtt a tér egy adott D pontjától mért távolságokat. Mindezek végiggondolása érdekes lehet az Olvasó számára.
1Matthew Stuart (1715‐1785), skót matematikus.

2Donald Coxeter (1907‐2003), a XX. század egyik legnagyobb geométere.