A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Irányítsuk a megadott szakaszokat az ábrának megfelelően.
Használjuk fel, hogy egy tetszőleges vonatkoztatási pontból () a háromszög súlypontjába mutató vektor egyenlő a vonatkoztatási pontból a háromszög csúcsaiba mutató vektorok számtani közepével. Vagyis Írjuk fel az , , vektorokat az , , vektorok segítségével: | | Helyettesítsük be ezeket a bizonyítandó egyenlőségbe, majd a vektorok skaláris szorzásának tulajdonságait felhasználva végezzünk ekvivalens átalakításokat:
ami pedig már nyilvánvaló azonosság, vagyis bármely tetraéderre igaz az állítás.
Megjegyzés. A Stewart-tétel néven ismert összefüggés egy kevéssé közismert, igen hasznos átfogalmazásának felhasználásával a megoldás lépései átrendezhetők. Maga a Stewart-tétel Coxeter ‐ Greitzer: Az újrafelfedezett geometria (Gondolat Kiadó, Budapest, 1977) című remek könyvének 22. oldalán az alábbi formában szerepel:
,,Legyen az ábrán látható Ceva-féle szakasz hossza . Ha az pont a oldalt a és hosszúságú szakaszokra osztja, akkor Ha itt a szokásos módon bevezetjük a , ,,súlyokat'', akkor és átrendezésével az alábbi, ,,négyszakasz-tételnek'' nevezhető alakhoz jutunk: | | (N) | A tétel fenti alakja felidézheti a szakasz adott arányú osztópontjába mutató helyvektor jól ismert felírását és ezzel egy másfajta, a feladat közölt megoldásához hasonló vektoralgebrai bizonyítására is rámutat. Az összefüggés a koszinusztétel sajátos átfogalmazásának is tekinthető (egy másik bizonyítása épp ezt használja föl); -ben viszont már nem szerepel a koszinuszfüggvény. Ilyen típusú ismert összefüggés az úgynevezett paralelogramma tétel is: a koszinuszfüggvény csupán a bizonyításban vesz részt, az eredményből már ideális katalizátorként eltűnik. A fenti alak speciális esetként ) tartalmazza a súlyvonaltétel néven ismert összefüggést és így magát a paralelogramma tételt is. Ebben a formában talán jobban látszik, hogy a négy adott elrendezésű szakasz közül bármelyik kifejezhető a további három segítségével. Az is ellenőrizhető, hogy ha a , számokat az ismert módon előjeles arányoknak tekintjük, akkor a tétel változatlan formában igaz marad akkor is, ha az a egyenes tetszőleges pontja. E hosszúra nyúlt bevezető után nézzük, hogyan oldható meg a feladat a négyszakasz-tétel ismételt alkalmazásával.
Ha jelöli a oldal felezőpontját, pedig az lap súlypontját, akkor a háromszögben az ismert osztásarányok alapján szerint: A súlyvonaltétel kétszeri alkalmazásával a feladat jelölései szerint: | | illetve | | Behelyettesítve és rendezve:
és ezt kellett bizonyítani. Látható, hogy a közölt megoldás vektorszámítási lépéseinek lényegét érdemes leválasztani a konkrét feladatról; így általában is használható összefüggéshez jutunk. Jobban láthatók az esetleges általánosítások is: a négyszakasz-tétel birtokában világos, hogy a feladat lényegében egyfajta ,,hétszakasz''-egyenlőség formájában kapcsolja össze az háromszög síkjának tetszőleges pontjával együtt a tér egy adott pontjától mért távolságokat. Mindezek végiggondolása érdekes lehet az Olvasó számára. Matthew Stuart (1715‐1785), skót matematikus.Donald Coxeter (1907‐2003), a XX. század egyik legnagyobb geométere. |