Feladat: 3714. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dudás János 
Füzet: 2005/február, 108 - 109. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merev testek mechanikája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/május: 3714. fizika feladat

A gépkocsik rugózásának számítására alkalmas modell egy a és b oldalhosszúságú téglalap alakú homogén lemez, amelyet négy sarkán egy-egy D direkciós erejű rugó támaszt alá.
Határozzuk meg az előre-hátra és a jobbra-balra billegő lengések frekvenciáját, ha a=3 m, b=1,5 m, m=1000 kg, D=50 kN/m.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A téglalap mozgása ‐ ha a tömegközéppontján átmenő egyik, mondjuk a b hosszú oldalélével párhuzamos tengely körül billeg ‐ torziós lengés lesz, melynek frekvenciáját a forgómozgás M=Θβ egyenletéből határozhatjuk meg. A c vastagságú téglatest tehetetlenségi nyomatéka a kérdéses tengelyre

Θ=112m(a2+c2),
ahol (vékony lemezről lévén szó) ca, tehát Θm12a2.
Ha a lemezt egy kicsiny φ szöggel kibillentjük az egyensúlyi helyzetéből, a lemez szélének függőleges elmozdulása Δxa2φ lesz, az egyik oldalon felfelé, a másik oldalon pedig lefelé. A lemez sarkainál levő rugók mindegyike az eredetileg kifejtett erőn felül F=DΔx=Da2φ ,,többleterőt'', és ezzel együtt
Fa2=Da24φ
többlet-forgatónyomatékot fejt ki, az eredő forgatónyomaték tehát
M=-4Da24φ=-Da2φ
lesz. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy mindegyik rugó többlet-forgatónyomatéka a kitérítéssel ellentétes irányú.)
A mozgásegyenlet ezek szerint
m12a2β=-Da2φ,azazβ=-12Dmφ.
Összehasonlítva ezt az egyenletet a harmonikus rezgőmozgás megfelelő képletével, leolvashatjuk, hogy a rezgés körfrekvenciája ω=12Dm, a frekvenciája pedig
f=ω2π=12π12Dm3,9Hz  
lesz.
 

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy a lemez egy szélső pontjának gyorsulását számítjuk ki olyankor, amikor a kérdéses pont kitérése Δx. A gyorsulás arányos a kitéréssel, a mozgás tehát harmonikus rezgőmozgás, melynek körfrekvenciája a gyorsulás és a kitérés arányának négyzetgyöke.
 

Mivel a frekvenciát meghatározó képletben nem szerepel a lemez a mérete, a lengési frekvencia a másik fajta billegés esetén is ugyanekkora, 3,9 Hz lesz.