Kezdőlap


Feladat:	3714. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás János
Füzet:	2005/február, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev testek mechanikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: 3714. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A téglalap mozgása ‐ ha a tömegközéppontján átmenő egyik, mondjuk a $b$ hosszú oldalélével párhuzamos tengely körül billeg ‐ torziós lengés lesz, melynek frekvenciáját a forgómozgás $M = Θ β$ egyenletéből határozhatjuk meg. A $c$ vastagságú téglatest tehetetlenségi nyomatéka a kérdéses tengelyre

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} m (a^{2} + c^{2}), \end{matrix}

ahol (vékony lemezről lévén szó)

c ≪ a

, tehát

Θ \approx \frac{m}{12} a^{2}

.
Ha a lemezt egy kicsiny

φ

szöggel kibillentjük az egyensúlyi helyzetéből, a lemez szélének függőleges elmozdulása

Δ x \approx \frac{a}{2} φ

lesz, az egyik oldalon felfelé, a másik oldalon pedig lefelé. A lemez sarkainál levő rugók mindegyike az eredetileg kifejtett erőn felül

F = D \cdot Δ x = D \cdot \frac{a}{2} φ

,,többleterőt'', és ezzel együtt

\begin{matrix} F \frac{a}{2} = D \frac{a^{2}}{4} φ \end{matrix}

többlet-forgatónyomatékot fejt ki, az eredő forgatónyomaték tehát

\begin{matrix} M = - 4 D \frac{a^{2}}{4} φ = - D a^{2} φ \end{matrix}

lesz. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy mindegyik rugó többlet-forgatónyomatéka a kitérítéssel ellentétes irányú.)
A mozgásegyenlet ezek szerint

\begin{matrix} \frac{m}{12} a^{2} \cdot β = - D a^{2} φ, azaz β = - 12 \frac{D}{m} φ . \end{matrix}

Összehasonlítva ezt az egyenletet a harmonikus rezgőmozgás megfelelő képletével, leolvashatjuk, hogy a rezgés körfrekvenciája

ω = \sqrt[]{12 \frac{D}{m}}

, a frekvenciája pedig

\begin{matrix} f = \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{12 \frac{D}{m}} \approx 3, 9 Hz \end{matrix}

lesz.

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy a lemez egy szélső pontjának gyorsulását számítjuk ki olyankor, amikor a kérdéses pont kitérése

Δ x

. A gyorsulás arányos a kitéréssel, a mozgás tehát harmonikus rezgőmozgás, melynek körfrekvenciája a gyorsulás és a kitérés arányának négyzetgyöke.

Mivel a frekvenciát meghatározó képletben nem szerepel a lemez

a

mérete, a lengési frekvencia a másik fajta billegés esetén is ugyanekkora, 3,9 Hz lesz.