Feladat: B.3748 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Ádám László 
Füzet: 2005/április, 219. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes vonalai, Egybevágósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/szeptember: B.3748

Az ABC háromszög C csúcsából induló magasságvonal és súlyvonal harmadolják a BCA szöget. Igazoljuk, hogy a háromszög derékszögű.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a háromszög C-ből induló magasságvonalának talppontja T, az AB oldal felezőpontja F, a C csúcs AB egyenesre vonatkozó tükörképe pedig C'. Feltehetjük, hogy T az FB szakasz belsejében van. Legyen BCA=3γ. Ekkor a feltételek szerint BCT=TCF=FCA=γ.

 
 

Az FCT és BCT háromszögek egybevágók, mert TC oldaluk közös, az azon fekvő szögeik pedig páronként egyenlők. Tehát FT=TB, s mivel F felezi az AB oldalt, azért FT=AF2, vagyis F az AT szakasz T-hez közelebbi harmadolópontja. C' származtatása miatt T felezi a CC' szakaszt és AC=AC'. Az AC'C háromszögnek tehát AT súlyvonala, F pedig súlypontja. Vagyis a háromszög C csúcsához tartozó súlyvonala felezi a C-nél lévő szöget. Ebből következik, hogy a háromszög C-n átmenő oldalai egyenlőek, azaz AC=CC'. Vagyis az AC'C háromszög oldalai egyenlőek, tehát a háromszög szabályos. Így minden szöge 60-os, azaz ACC'=2γ=60, amiből kapjuk, hogy BCA=3γ=90. Az ABC háromszög másik két szöge pedig BAC=90-TCA=30 és ABC=90-TCB=60. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha egy háromszög szögei 30, 60 és 90, akkor a derékszögű csúcsból induló magasságvonal és súlyvonal harmadolják a szöget.
Ezzel a feladat állításánál többet láttunk be, megmutattuk, hogy az ABC háromszög derékszögű, hegyesszögei pedig 30 és 60.