Kezdőlap


Feladat:	B.3748	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Ádám László
Füzet:	2005/április, 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes vonalai, Egybevágósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: B.3748

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a háromszög $C$ -ből induló magasságvonalának talppontja $T$ , az $A B$ oldal felezőpontja $F$ , a $C$ csúcs $A B$ egyenesre vonatkozó tükörképe pedig $C'$ . Feltehetjük, hogy $T$ az $F B$ szakasz belsejében van. Legyen $B C A ∢ = 3 γ$ . Ekkor a feltételek szerint $B C T ∢ = T C F ∢ = F C A ∢ = γ$ .

F C T

és

B C T

háromszögek egybevágók, mert

T C

oldaluk közös, az azon fekvő szögeik pedig páronként egyenlők. Tehát

F T = T B

, s mivel

F

felezi az

A B

oldalt, azért

F T = \frac{A F}{2}

, vagyis

F

A T

szakasz

T

-hez közelebbi harmadolópontja.

C'

származtatása miatt

T

felezi a

C C'

szakaszt és

A C = A C'

. Az

A C' C

háromszögnek tehát

A T

súlyvonala,

F

pedig súlypontja. Vagyis a háromszög

C

csúcsához tartozó súlyvonala felezi a

C

-nél lévő szöget. Ebből következik, hogy a háromszög

C

-n átmenő oldalai egyenlőek, azaz

A C = C C'

. Vagyis az

A C' C

háromszög oldalai egyenlőek, tehát a háromszög szabályos. Így minden szöge

60^{\circ}

-os, azaz

A C C' ∢ = 2 γ = 60^{\circ}

, amiből kapjuk, hogy

B C A ∢ = 3 γ = 90^{\circ}

. Az

A B C

háromszög másik két szöge pedig

B A C ∢ = 90^{\circ} - T C A ∢ = 30^{\circ}

és

A B C ∢ = 90^{\circ} - T C B ∢ = 60^{\circ}

. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha egy háromszög szögei

30^{\circ}

60^{\circ}

és

90^{\circ}

, akkor a derékszögű csúcsból induló magasságvonal és súlyvonal harmadolják a szöget.
Ezzel a feladat állításánál többet láttunk be, megmutattuk, hogy az

A B C

háromszög derékszögű, hegyesszögei pedig

30^{\circ}

és

60^{\circ}