Feladat: B.3726 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antal László ,  Baranyai Attila ,  Bereczki Péter ,  Birkner Tamás ,  Csajbók Bence ,  Erdélyi Márton ,  Estélyi István ,  Gehér György ,  Gyarmati Ákos ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kiss Orsolya ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kovács Péter ,  Kurgyis Zsuzsanna ,  Lorántfy Bettina ,  Mátyás Péter ,  Mészáros Gábor ,  Molnár András ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Szabó Tamás 
Füzet: 2005/február, 90 - 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Tizes alapú számrendszer, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/április: B.3726

Milyen számjegy áll a (3+7)2004 számban a tizedesvessző előtt?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a (3+7)2004+(3-7)2004 összeget a binomiális tétel felhasználásával:

(3+7)2004+(3-7)2004==(20040)32004+(20041)320037+(20042)3200272+...++(20040)32004-(20041)320037+(20042)3200272+....
Látható, hogy azok a tagok, amelyekben 7 páratlan hatványon szerepel, kiesnek, mert ellentétes előjellel szerepelnek a két kifejezésben. A páros kitevőn szereplő hatványok pedig egészek.
(3+7)2004+(3-7)2004 tehát egész szám.
3-7<1, ezért (3-7)2004<1, tehát (3+7)2004 tizedesvessző előtti számjegye a (3+7)2004+(3-7)2004 szám egyes helyiértékén álló számjegynél 1-gyel kisebb. (Ha az egész szám 0-ra végződik, akkor persze 9.)
(3+7)2004+(3-7)2004=((3+7)3)668+((3-7)3)668==(27+277+97+77)668+(27-277+97-77)668==(90+347)668+(90-347)668.
Ahogyan azt az előzőkben már láttuk, a 7-et tartalmazó tagok a két összegben ellentétes előjellel szerepelnek, így ki fognak esni, a páros kitevőjű tagok pedig kétszer szerepelnek.
(90+347)668+(90-347)668==n=0668(668n)90668-n34n7n+n=0668(-1)n(668n)90668-n34n7n==k=03342(6682k)90668-2k342k7k=2k=0334(6682k)90668-2k342k7k.
Az összegben szereplő tagok ‐ a k=334 kivételével ‐ a 90-et valódi szorzótényezőként tartalmazzák, ezért 0-ra végződnek. k=334 esetén az összeadandó
2(668668)900346687334.
2346687334 utolsó számjegyére vagyunk kíváncsiak.
34 minden párosadik hatványa 6-ra (páratlanadik hatványa 4-re) végződik. 7 hatványai rendre 7, 9, 3, 1 végződésűek. A 334 néggyel osztva 2 maradékot ad, így 7334 utolsó számjegye 9. Eszerint az utolsó tag utolsó számjegye 269=108 utolsó számjegyével, 8-cal egyenlő.
A (3+7)2004 számban a tizedesvessző előtt 7 áll.