Kezdőlap


Feladat:	B.3726	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal László , Baranyai Attila , Bereczki Péter , Birkner Tamás , Csajbók Bence , Erdélyi Márton , Estélyi István , Gehér György , Gyarmati Ákos , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Kiss Orsolya , Kiss-Tóth Christián , Kovács Péter , Kurgyis Zsuzsanna , Lorántfy Bettina , Mátyás Péter , Mészáros Gábor , Molnár András , Pálinkás Csaba , Poronyi Balázs , Szabó Tamás
Füzet:	2005/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Tizes alapú számrendszer, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: B.3726

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a ${(3 + \sqrt[]{7})}^{2004} + {(3 - \sqrt[]{7})}^{2004}$ összeget a binomiális tétel felhasználásával:

\begin{matrix} {(3 + \sqrt[]{7})}^{2004} + {(3 - \sqrt[]{7})}^{2004} = \\ = (\binom{2004}{0}) \cdot 3^{2004} + (\binom{2004}{1}) \cdot 3^{2003} \cdot \sqrt[]{7} + (\binom{2004}{2}) \cdot 3^{2002} \cdot {\sqrt[]{7}}^{2} + ... + \\ + (\binom{2004}{0}) \cdot 3^{2004} - (\binom{2004}{1}) \cdot 3^{2003} \cdot \sqrt[]{7} + (\binom{2004}{2}) \cdot 3^{2002} \cdot {\sqrt[]{7}}^{2} + ... . \end{matrix}

Látható, hogy azok a tagok, amelyekben

\sqrt[]{7}

páratlan hatványon szerepel, kiesnek, mert ellentétes előjellel szerepelnek a két kifejezésben. A páros kitevőn szereplő hatványok pedig egészek.

{(3 + \sqrt[]{7})}^{2004} + {(3 - \sqrt[]{7})}^{2004}

tehát egész szám.

3 - \sqrt[]{7} < 1

, ezért

{(3 - \sqrt[]{7})}^{2004} < 1

, tehát

{(3 + \sqrt[]{7})}^{2004}

tizedesvessző előtti számjegye a

{(3 + \sqrt[]{7})}^{2004} + {(3 - \sqrt[]{7})}^{2004}

szám egyes helyiértékén álló számjegynél 1-gyel kisebb. (Ha az egész szám 0-ra végződik, akkor persze 9.)

\begin{matrix} {(3 + \sqrt[]{7})}^{2004} + {(3 - \sqrt[]{7})}^{2004} = {({(3 + \sqrt[]{7})}^{3})}^{668} + {({(3 - \sqrt[]{7})}^{3})}^{668} = \\ = {(27 + 27 \cdot \sqrt[]{7} + 9 \cdot 7 + 7 \sqrt[]{7})}^{668} + {(27 - 27 \cdot \sqrt[]{7} + 9 \cdot 7 - 7 \sqrt[]{7})}^{668} = \\ = {(90 + 34 \sqrt[]{7})}^{668} + {(90 - 34 \sqrt[]{7})}^{668} . \end{matrix}

Ahogyan azt az előzőkben már láttuk, a

\sqrt[]{7}

-et tartalmazó tagok a két összegben ellentétes előjellel szerepelnek, így ki fognak esni, a páros kitevőjű tagok pedig kétszer szerepelnek.

\begin{matrix} {(90 + 34 \sqrt[]{7})}^{668} + {(90 - 34 \sqrt[]{7})}^{668} = \\ = \sum_{n = 0}^{668} (\binom{668}{n}) 90^{668 - n} \cdot 34^{n} \cdot {\sqrt[]{7}}^{n} + \sum_{n = 0}^{668} {(- 1)}^{n} \cdot (\binom{668}{n}) 90^{668 - n} \cdot 34^{n} \cdot {\sqrt[]{7}}^{n} = \\ = \sum_{k = 0}^{334} 2 \cdot (\binom{668}{2 k}) 90^{668 - 2 k} \cdot 34^{2 k} \cdot 7^{k} = 2 \cdot \sum_{k = 0}^{334} (\binom{668}{2 k}) 90^{668 - 2 k} \cdot 34^{2 k} \cdot 7^{k} . \end{matrix}

Az összegben szereplő tagok ‐ a

k = 334

kivételével ‐ a 90-et valódi szorzótényezőként tartalmazzák, ezért 0-ra végződnek.

k = 334

esetén az összeadandó

\begin{matrix} 2 \cdot (\binom{668}{668}) \cdot 90^{0} \cdot 34^{668} \cdot 7^{334} . \end{matrix}

2 \cdot 34^{668} \cdot 7^{334}

utolsó számjegyére vagyunk kíváncsiak.
34 minden párosadik hatványa 6-ra (páratlanadik hatványa 4-re) végződik. 7 hatványai rendre 7, 9, 3, 1 végződésűek. A 334 néggyel osztva 2 maradékot ad, így

7^{334}

utolsó számjegye 9. Eszerint az utolsó tag utolsó számjegye

2 \cdot 6 \cdot 9 = 108

utolsó számjegyével, 8-cal egyenlő.
A

{(3 + \sqrt[]{7})}^{2004}

számban a tizedesvessző előtt 7 áll.