Feladat: B.3692 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bodnár József 
Füzet: 2005/február, 85 - 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: B.3692

Két dobozban kavicsok vannak, az egyikben p, a másikban q darab. Egy lépésben vagy mindkét dobozból elvehetünk egy-egy kavicsot, vagy pedig az egyik doboz tartalmát megháromszorozhatjuk. Elérhető-e ilyen lépések alkalmas sorozatával, hogy mindkét doboz kiürüljön, ha
a) p=100q=200;
b) p=101q=200?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az a) kérdésre igenlő a válaszunk, a b) kérdésre pedig nemleges.
a) Mutatunk egy lépéssorozatot, ahogy elérhető, hogy a két doboz egyszerre ürüljön ki. Először vegyünk el mindkét dobozból 1‐1 kavicsot 50-szer egymás után. Így az egyikben 50 kavics lesz, a másikban 150. Ezután háromszorozzuk meg az 50 kavicsot, ekkor 150‐150 kavics lesz mindkét dobozban. Végül 150-szer mindkét dobozból elveszünk 1‐1 kavicsot. Ezzel egyszerre ürítettük ki mindkét dobozt.
b) Itt azt vehetjük észre, hogy a dobozokban lévő kavicsok számának paritása kezdetben különböző. A 3-mal való szorzás nem változtat a paritáson. Ha pedig mindkét dobozból elveszünk 1‐1 kavicsot, akkor a dobozok paritásának összege nem változik, vagyis ha a paritásuk eredetileg különböző volt, akkor különböző is marad. Mindezek miatt, ha kezdetben p és q paritása különböző, akkor megengedett lépések minden sorozata után is különböző lesz. Ezért a (101;200) kiinduló állapotból nem juthatunk el a (0;0) állapothoz, mert ekkor a dobozban lévő kavicsok számának paritása azonos, kezdetben pedig különböző volt.