Feladat: 3680. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Strenner Balázs 
Füzet: 2004/december, 564 - 566. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merev testek dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: 3680. fizika feladat

Vízszintes talajon egy egyenes mentén egymással szemben v0=4,20m/s sebességgel csúszásmentesen gördül két azonos sugarú és azonos tömegű tömör, érdes felületű golyó. Egy adott pillanatban a golyók d=12,60m távolságban vannak. Ettől számítva mennyi idő múlva lesznek ismét d távolságra egymástól, ha az ütközésük pillanatszerű és abszolút rugalmas? A csúszási súrlódási együttható mindenütt 0,16, a gördülő ellenállás és a légellenállás elhanyagolható.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltételezve, hogy a golyók sugara sokkal kisebb, mint a d távolság, a kezdőpillanat és az ütközés között d2v0=1,5s idő telik el. Az ütközés során érvényes a lendületmegmaradás törvénye, és mivel az ütközés pillanatszerű és tökéletesen rugalmas, a rendszer összes mechanikai energiája is változatlan marad. A golyók között fellépő nagy erőlökések nem tudják hirtelen megváltoztatni a golyók perdületét (hiszen mindkét erő hatásvonala átmegy a golyók középpontján), emiatt nem csak az összenergia, hanem a két golyó transzlációs mozgásához tartozó energia is változatlan marad. A lendületmegmaradás következtében a két golyó ütközés utáni sebessége ugyanakkora nagyságú kell legyen, s mivel a transzlációs mozgás összenergiája sem változott meg, ez a sebesség csakis ±v0 lehet. A golyók tehát az ütközés során megtartják eredeti ±v0r szögsebességüket (r a golyók sugara), a tömegközéppontjuk sebessége pedig az ütközés előtti érték (-1)-szerese lesz.
Vizsgáljuk a továbbiakban az egyik, mondjuk a bal oldali golyó csúszva gördülő mozgását (a másik golyó szimmetrikus mozgást végez). Tekintsük ezen golyó ütközés előtti sebességét és szögsebességét pozitívnak; az ütközés után a golyó sebessége -v0, szögsebessége pedig ω0=v0r lesz.
A golyó transzlációs- és forgómozgását megváltoztató egyedüli erő a súrlódási erő (hiszen a gravitációs erő és a talaj kényszerereje azonos nagyságú, de egymással ellentétes irányú). A súrlódási erő nagysága S=mgμ, és a mozgásegyenletek

S=ma,-Sr=Θβ.
(Figyelembe vettük, hogy a súrlódási erő a tömegközéppont negatív sebességének nagyságát csökkenti, tehát a sebességet növeli, a pozitív szögsebességét pedig csökkenti.)
A mozgásegyenletek alapján a golyó gyorsulása a=μg, szöggyorsulása pedig (Θ=25mr2 miatt) β=-52gμr lesz. A golyó tömegközéppontjának sebessége tehát
v=-v0+μgt,
a golyó szögsebessége pedig
ω=ω0+βt=v0r-52gμrt
módon változik. Számítsuk ki, hogy az ütközéstől számítva mennyi idő múlva alakul ki a tiszta gördülés v=rω feltétele! A fenti egyenletekből
-v0+μgt=r(v0r-52gμrt),
azaz
t=47v0μg1,53s.  
A golyók sebessége a csúszva gördülés befejeztekor
v1=-v0+μgt=-37v0,
az átlagsebessége pedig -57v0 lesz, tehát a fentebb kiszámított t idő alatt
s=57v0t=2049v02μg4,59m  
utat tesz meg a talajon.
A továbbiakban a golyók egyenletes (tisztán gördülő) mozgást végeznek, tehát a kérdéses helyzetig
s1=d2-s1,71m  
utat
t1=s1|v1|0,95s  
idő alatt tesznek meg.
Összegezve a kapott részidőket megállapíthatjuk, hogy a golyók a megadott pillanattól számított 3,98s4s múlva lesznek ismét d távolságra egymástól.