Feladat: B.3621 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ablonczy Dávid ,  Backhausz Ágnes ,  Bartha Ferenc ,  Farkas Balázs ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Jelitai Kálmán ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komjáthy Júlia ,  Pongrácz András ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Simon Balázs ,  Torma Róbert ,  Vass Márton 
Füzet: 2004/március, 148 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/február: B.3621

Legyen f(x)=ax+1, ahol a0 adott valós szám. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyekre f(g(x))=g(f(x)).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje n a keresett g(x) polinom fokszámát. Vizsgáljuk meg először, van-e olyan legfeljebb elsőfokú g(x) polinom, amelyre f(g(x))=g(f(x)). Legyen g(x)=bx+c. Ekkor

f(g(x))=abx+ac+1ésg(f(x))=bax+b+c.
Az elsőfokú tagok egyenlők, így ez a két polinom pontosan akkor azonos, ha ac+1=b+c. Ha a=1, akkor innen b=1, c pedig tetszőleges valós szám, ha pedig a1, akkor b0 tetszőleges és c=1-b1-a. Vegyük észre, hogy így a b=0 esetben is megoldást kapunk, ekkor a g(x) konstans és értéke c=11-a.
A továbbiakban legyen g(x)=bnxn+bn-1xn-1+...+b1x+b0 legalább másodfokú polinom. Ekkor
g(f(x))=bn(ax+1)n+bn-1(ax+1)n-1+...+b1(ax+1)+b0.
Rendezzük ezt a polinomot az x csökkenő hatványai szerint és a binomiális tétel felhasználásával írjuk föl a két legmagasabb fokú tagját:
g(f(x))=bnanxn+(nbnan-1+bn-1an-1)xn-1+....
Az f(g(x)) polinom két legmagasabb fokú tagja bnaxn és bn-1axn-1.
Ha f(g(x))=g(f(x)), akkor szükséges, hogy
bnan=bna,(1)
illetve
nbnan-1+bn-1an-1=bn-1a.(2)
Az első feltételből abn0 és n2 figyelembevételével kapjuk, hogy an-1=1. Ha n páros, akkor innen a=1, ha pedig páratlan, akkor a=±1 adódik.
Ha a=1, akkor a (2) feltételből nbn=0, ami nem lehetséges. Nem létezik tehát olyan legalább másodfokú g(x) polinom, amely az f(x)=x+1 polinommal fölcserélhető.
Meg kell még vizsgálnunk az a=-1 lehetőséget, amikor n páratlan. Az f(g(x))=-g(x)+1, g(f(x))=g(-x+1) polinomok pontosan akkor azonosak, ha
g(x)+g(1-x)=1.(1)
Geometriailag ez azt jelenti, hogy a g(x) polinom grafikonja szimmetrikus a (0,5;0,5) pontra, a g(x) polinom 0,5-re szimmetrikus helyeken fölvett értékei, g(0,5-x) és g(0,5+x) a 0,5-re szimmetrikusan helyezkednek el, összegük 1:
g(0,5-x)+g(0,5+x)=1.(2)
(1) és (2) nyilván ekvivalensek, az x(0,5-x) helyettesítéssel kaphatók egymásból. (2) pedig úgy is fogalmazható, hogy ha a g(x) grafikonját a (-0,5;-0,5) vektorral eltoljuk, akkor a kapott h(x)=g(0,5+x)-0,5 polinom grafikonja az origóra szimmetrikus, h(x)+h(-x)=0, a h(x) polinom páratlan.
Ebben az összegben a h(x) páratlan fokú tagjai kiesnek, a páros fokú tagok pedig megkétszereződnek. Ha tehát ez az összeg azonosan nulla, azaz minden együtthatója nulla, akkor a h(x)-ben egyáltalán nincsen páros fokú tag: egy polinomfüggvény pontosan akkor páratlan, ha minden tagjának a foka páratlan.
Mivel g(x)=h(x-0,5)+0,5, g(x) és f(x)=-x+1 pontosan akkor cserélhető föl, ha
g(x)=0,5+k  páratlanbk(x-0,5)k,
ahol a bk együtthatók tetszőleges valós számok.
Eredményeinket összefoglalva:
‐ ha a=1, akkor g(x)=x+c,
‐ ha a1, akkor g(x)=bx+1-b1-a, ahol b tetszőleges valós szám,
‐ ha a=-1, akkor g(x)=0,5+k  páratlanbk(x-0,5)k.