Kezdőlap


Feladat:	B.3621	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ablonczy Dávid , Backhausz Ágnes , Bartha Ferenc , Farkas Balázs , Fehér Gábor , Filus Tamás , Jelitai Kálmán , Kiss-Tóth Christián , Komjáthy Júlia , Pongrácz András , Ruppert László Gábor , Salát Máté , Sándor Ágnes , Simon Balázs , Torma Róbert , Vass Márton
Füzet:	2004/március, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: B.3621

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje $n$ a keresett $g (x)$ polinom fokszámát. Vizsgáljuk meg először, van-e olyan legfeljebb elsőfokú $g (x)$ polinom, amelyre $f (g (x)) = g (f (x))$ . Legyen $g (x) = b x + c$ . Ekkor

\begin{matrix} f (g (x)) = a b x + a c + 1 és g (f (x)) = b a x + b + c . \end{matrix}

Az elsőfokú tagok egyenlők, így ez a két polinom pontosan akkor azonos, ha

a c + 1 = b + c

. Ha

a = 1

, akkor innen

b = 1

c

pedig tetszőleges valós szám, ha pedig

a \neq 1

, akkor

b \neq 0

tetszőleges és

c = \frac{1 - b}{1 - a}

. Vegyük észre, hogy így a

b = 0

esetben is megoldást kapunk, ekkor a

g (x)

konstans és értéke

c = \frac{1}{1 - a}

.
A továbbiakban legyen

g (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + ... + b_{1} x + b_{0}

legalább másodfokú polinom. Ekkor

\begin{matrix} g (f (x)) = b_{n} {(a x + 1)}^{n} + b_{n - 1} {(a x + 1)}^{n - 1} + ... + b_{1} (a x + 1) + b_{0} . \end{matrix}

Rendezzük ezt a polinomot az

x

csökkenő hatványai szerint és a binomiális tétel felhasználásával írjuk föl a két legmagasabb fokú tagját:

\begin{matrix} g (f (x)) = b_{n} a^{n} x^{n} + (n b_{n} a^{n - 1} + b_{n - 1} a^{n - 1}) x^{n - 1} + ... . \end{matrix}

f (g (x))

polinom két legmagasabb fokú tagja

b_{n} a x^{n}

és

b_{n - 1} a x^{n - 1}

.
Ha

f (g (x)) = g (f (x))

, akkor szükséges, hogy

\begin{matrix} b_{n} \cdot a^{n} = b_{n} \cdot a, \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} n \cdot b_{n} \cdot a^{n - 1} + b_{n - 1} \cdot a^{n - 1} = b_{n - 1} \cdot a . \end{matrix}

(2)

Az első feltételből

a b_{n} \neq 0

és

n \geq 2

figyelembevételével kapjuk, hogy

a^{n - 1} = 1

. Ha

n

páros, akkor innen

a = 1

, ha pedig páratlan, akkor

a = \pm 1

adódik.
Ha

a = 1

, akkor a (2) feltételből

n \cdot b_{n} = 0

, ami nem lehetséges. Nem létezik tehát olyan legalább másodfokú

g (x)

polinom, amely az

f (x) = x + 1

polinommal fölcserélhető.
Meg kell még vizsgálnunk az

a = - 1

lehetőséget, amikor

n

páratlan. Az

f (g (x)) = - g (x) + 1

g (f (x)) = g (- x + 1)

polinomok pontosan akkor azonosak, ha

\begin{matrix} g (x) + g (1 - x) = 1. \end{matrix}

(1)

Geometriailag ez azt jelenti, hogy a

g (x)

polinom grafikonja szimmetrikus a

(0, 5; 0, 5)

pontra, a

g (x)

polinom 0,5-re szimmetrikus helyeken fölvett értékei,

g (0, 5 - x)

és

g (0, 5 + x)

a 0,5-re szimmetrikusan helyezkednek el, összegük 1:

\begin{matrix} g (0, 5 - x) + g (0, 5 + x) = 1. \end{matrix}

(2)

(1) és (2) nyilván ekvivalensek, az

x \leftarrow (0, 5 - x)

helyettesítéssel kaphatók egymásból. (2) pedig úgy is fogalmazható, hogy ha a

g (x)

grafikonját a

(- 0, 5; - 0, 5)

vektorral eltoljuk, akkor a kapott

h (x) = g (0, 5 + x) - 0, 5

polinom grafikonja az origóra szimmetrikus,

h (x) + h (- x) = 0

, a

h (x)

polinom páratlan.
Ebben az összegben a

h (x)

páratlan fokú tagjai kiesnek, a páros fokú tagok pedig megkétszereződnek. Ha tehát ez az összeg azonosan nulla, azaz minden együtthatója nulla, akkor a

h (x)

-ben egyáltalán nincsen páros fokú tag: egy polinomfüggvény pontosan akkor páratlan, ha minden tagjának a foka páratlan.
Mivel

g (x) = h (x - 0, 5) + 0, 5

g (x)

és

f (x) = - x + 1

pontosan akkor cserélhető föl, ha

\begin{matrix} g (x) = 0, 5 + \sum_{k páratlan}^{} b_{k} {(x - 0,5)}^{k}, \end{matrix}

ahol a

b_{k}

együtthatók tetszőleges valós számok.
Eredményeinket összefoglalva:
‐ ha

a = 1

, akkor

g (x) = x + c

,
‐ ha

a \neq 1

, akkor

g (x) = b x + \frac{1 - b}{1 - a}

, ahol

b

tetszőleges valós szám,
‐ ha

a = - 1

, akkor

g (x) = 0, 5 + \sum_{k páratlan} b_{k} {(x - 0,5)}^{k}