Feladat: B.3727 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bitai Tamás 
Füzet: 2004/december, 544 - 545. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Vektorok lineáris kombinációi, Konvex négyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/április: B.3727

Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak felezőpontjai közötti távolság négyzete fele a két oldal négyzetösszegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy négyszög akkor rombusz, ha paralelogramma és az átlói merőlegesek egymásra. Mindkét tulajdonságot egyszerűen le lehet írni vektorok segítségével, ezért így oldjuk meg a feladatot. Jelöljük a négyszög csúcsait A, B, C, D-vel, egy tetszőleges pontból a csúcsokba mutató helyvektorokat pedig a, b, c, d-vel.
A vektorok tulajdonságait felhasználva nyilvánvaló a következő két állítás:

1.A konvex ABCD négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha a-b=d-c.
2.A konvex ABCD négyszög átlói pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha (a-c)(b-d)=0.

Ezt a két vektorokra vonatkozó egyenlőséget kell tehát bebizonyítanunk abból kiindulva, hogy a négyszög bármely két szemközti oldalának felezőpontjai közötti távolság négyzete fele a két oldal négyzetösszegének. Felhasználva a szakasz felezőpontjának helyvektorára vonatkozó képletet, valamint azt, hogy egy vektor négyzete megegyezik hosszának négyzetével, a feltételeket az alábbi két egyenlet írja le:
(a+b2-c+d2)2=12((a-b)2+(c-d)2),(d+a2-b+c2)2=12((d-a)2+(b-c)2).
Az egyenleteket rendezve kapjuk, hogy
(a-c)2+(b-d)2+2(a-c)(b-d)=2((a-b)2+(c-d)2),6pt](a-c)2+(b-d)2-2(a-c)(b-d)=2((d-a)2+(b-c)2).

A két egyenletet összeadva majd a kapott egyenletet rendezve:
2((a-c)2+(b-d)2)=2((a-b)2+(c-d)2)+2((d-a)2+(b-c)2)0=(a-b+c-d)2.
Ebből viszont 0=a-b+c-d következik, tehát az ABCD négyszög az 1. állításból következően paralelogramma.
Ha pedig a két egyenletet kivonjuk egymásból, és az így kapott egyenletet rendezzük, akkor:
4(a-c)(b-d)=2((a-b)2+(c-d)2)-2((d-a)2+(b-c)2)(a-c)(b-d)=-ab-cd+da+bc2(a-c)(b-d)=0.
Ez viszont a 2. állításból következően azt jelenti, hogy az ABCD négyszög átlói merőlegesek egymásra.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a feladatban szereplő négyszög rombusz.