Kezdőlap


Feladat:	B.3727	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bitai Tamás
Füzet:	2004/december, 544 - 545. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Vektorok lineáris kombinációi, Konvex négyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: B.3727

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy négyszög akkor rombusz, ha paralelogramma és az átlói merőlegesek egymásra. Mindkét tulajdonságot egyszerűen le lehet írni vektorok segítségével, ezért így oldjuk meg a feladatot. Jelöljük a négyszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, egy tetszőleges pontból a csúcsokba mutató helyvektorokat pedig $a$ , $b$ , $c$ , $d$ -vel.
A vektorok tulajdonságait felhasználva nyilvánvaló a következő két állítás:

1.	A konvex $A B C D$ négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha $a - b = d - c$ .

2.	A konvex $A B C D$ négyszög átlói pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha $(a - c) (b - d) = 0$ .

Ezt a két vektorokra vonatkozó egyenlőséget kell tehát bebizonyítanunk abból kiindulva, hogy a négyszög bármely két szemközti oldalának felezőpontjai közötti távolság négyzete fele a két oldal négyzetösszegének. Felhasználva a szakasz felezőpontjának helyvektorára vonatkozó képletet, valamint azt, hogy egy vektor négyzete megegyezik hosszának négyzetével, a feltételeket az alábbi két egyenlet írja le:

\begin{matrix} {(\frac{a + b}{2} - \frac{c + d}{2})}^{2} & = \frac{1}{2} ({(a - b)}^{2} + {(c - d)}^{2}), \\ {(\frac{d + a}{2} - \frac{b + c}{2})}^{2} & = \frac{1}{2} ({(d - a)}^{2} + {(b - c)}^{2}) . \end{matrix}

Az egyenleteket rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} + 2 (a - c) (b - d) & = 2 ({(a - b)}^{2} + {(c - d)}^{2}), \\ 6 p t] {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} - 2 (a - c) (b - d) & = 2 ({(d - a)}^{2} + {(b - c)}^{2}) . \end{matrix}

A két egyenletet összeadva majd a kapott egyenletet rendezve:

\begin{matrix} 2 ({(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}) & = 2 ({(a - b)}^{2} + {(c - d)}^{2}) + 2 ({(d - a)}^{2} + {(b - c)}^{2}) \\ 0 & = {(a - b + c - d)}^{2} . \end{matrix}

Ebből viszont

0 = a - b + c - d

következik, tehát az

A B C D

négyszög az 1. állításból következően paralelogramma.
Ha pedig a két egyenletet kivonjuk egymásból, és az így kapott egyenletet rendezzük, akkor:

\begin{matrix} 4 (a - c) (b - d) & = 2 ({(a - b)}^{2} + {(c - d)}^{2}) - 2 ({(d - a)}^{2} + {(b - c)}^{2}) \\ (a - c) (b - d) & = - a b - c d + d a + b c \\ 2 (a - c) (b - d) & = 0. \end{matrix}

Ez viszont a 2. állításból következően azt jelenti, hogy az

A B C D

négyszög átlói merőlegesek egymásra.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a feladatban szereplő négyszög rombusz.