Feladat: B.3698 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2004/október, 415 - 416. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Síkgeometriai szerkesztések, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: B.3698

Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalaira kifelé írt szabályos háromszögeknek a négyszög csúcsaitól különböző csúcsai. A szerkeszthetőség feltételeinek vizsgálatától ezúttal eltekintünk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szerkesztendő négyszög csúcsait pozitív forgásirányban jelölje rendre A, B, C, D, az XY oldalra kifelé írt szabályos háromszög X-től és Y-tól különböző csúcsát pedig jelöljük TXY-nal.
Tekintsük a TAB, TBC, TCD és TDA körüli -60-os elforgatások egymásutánját. Tudjuk, hogy két elforgatás egymásutánja szintén elforgatás, melynek szöge az eredeti elforgatások szögeinek összege. Ezért a négy elforgatás egymásutánja olyan elforgatás, melynek szöge 4(-60), azaz 120. Másrészt a négy elforgatás egymásutánja A-t önmagába viszi, mert az első forgatásnál A képe B, a másodiknál B képe C, a harmadiknál C képe D, a negyediknél pedig D képe A. Tehát A ennek a 120-os elforgatásnak a fixpontja.

 

 
1. ábra
 

Egy ilyen elforgatásnak egyetlen fixpontja van, a forgatás középpontja. Ezt könnyen megszerkeszthetjük: Tetszőleges P pontra alkalmazzuk a TAB, TBC, TCD és TDA körüli -60-os elforgatások egymásutánját, az így kapott pont legyen P'. Ekkor P-t az A körüli 120-os elforgatás viszi át P'-be. Ezért vagy PP' és ekkor PA, vagy PP' és ekkor PAP' egy negatív körüljárású, 120-os szárszögű egyenlőszárú háromszög. Ennek a háromszögnek az A csúcsa P és P' ismeretében egyszerűen megszerkeszthető (2. ábra). Ezután A-ra alkalmazva a TAB körüli -60-os elforgatást majd a kapott B pontra a TBC körüli -60-os elforgatást és végül a kapott C pontra a TCD körüli -60-os elforgatást kapjuk a szerkesztendő négyszög D csúcsát.
 

 
2. ábra