Kezdőlap


Feladat:	B.3698	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/október, 415 - 416. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Síkgeometriai szerkesztések, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: B.3698

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szerkesztendő négyszög csúcsait pozitív forgásirányban jelölje rendre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , az $X Y$ oldalra kifelé írt szabályos háromszög $X$ -től és $Y$ -tól különböző csúcsát pedig jelöljük $T_{X Y}$ -nal.
Tekintsük a $T_{A B}$ , $T_{B C}$ , $T_{C D}$ és $T_{D A}$ körüli $- 60^{\circ}$ -os elforgatások egymásutánját. Tudjuk, hogy két elforgatás egymásutánja szintén elforgatás, melynek szöge az eredeti elforgatások szögeinek összege. Ezért a négy elforgatás egymásutánja olyan elforgatás, melynek szöge $4 \cdot (- 60^{\circ})$ , azaz $120^{\circ}$ . Másrészt a négy elforgatás egymásutánja $A$ -t önmagába viszi, mert az első forgatásnál $A$ képe $B$ , a másodiknál $B$ képe $C$ , a harmadiknál $C$ képe $D$ , a negyediknél pedig $D$ képe $A$ . Tehát $A$ ennek a $120^{\circ}$ -os elforgatásnak a fixpontja.

1. ábra

Egy ilyen elforgatásnak egyetlen fixpontja van, a forgatás középpontja. Ezt könnyen megszerkeszthetjük: Tetszőleges

P

pontra alkalmazzuk a

T_{A B}

T_{B C}

T_{C D}

és

T_{D A}

körüli

- 60^{\circ}

-os elforgatások egymásutánját, az így kapott pont legyen

P'

. Ekkor

P

-t az

A

körüli

120^{\circ}

-os elforgatás viszi át

P'

-be. Ezért vagy

P \equiv P'

és ekkor

P \equiv A

, vagy

P \neq P'

és ekkor

P A P'

egy negatív körüljárású,

120^{\circ}

-os szárszögű egyenlőszárú háromszög. Ennek a háromszögnek az

A

csúcsa

P

és

P'

ismeretében egyszerűen megszerkeszthető (2. ábra). Ezután

A

-ra alkalmazva a

T_{A B}

körüli

- 60^{\circ}

-os elforgatást majd a kapott

B

pontra a

T_{B C}

körüli

- 60^{\circ}

-os elforgatást és végül a kapott

C

pontra a

T_{C D}

körüli

- 60^{\circ}

-os elforgatást kapjuk a szerkesztendő négyszög

D

csúcsát.

2. ábra