Feladat: B.3670 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bednay Dezső ,  Birkus Róbert ,  Czank Tamás ,  Estélyi István ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Lorántfy Bettina ,  Sándor Ágnes Petra 
Füzet: 2004/október, 411 - 412. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszög nevezetes körei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3670

Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai ra, rb és rc, körülírt körének sugara pedig R. Tudjuk, hogy ra+rb=3R és rb+rc=2R. Mekkorák a háromszög szögei?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a szokásos módon a háromszög oldalait a, b, c, szögeit α, β, γ, területét T és kerületét 2s. Először bebizonyítunk egy lemmát:

 
Tetszőleges háromszögben ha egy szög koszinuszának 1-gyel növelt értékét megszorozzuk a körülírt kör sugarának kétszeresével, akkor a szöget bezáró két oldalhoz hozzáírt körök sugarának összegét kapjuk.
 

Bizonyítás: Mivel a szögek szerepe a háromszögben szimmetrikus, elegendő megmutatnunk, hogy
2R(1+cosγ)=ra+rb.
Ismert (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 2002/3, 130‐139. old.), hogy
R=abc4T,ra=Ts-aésrb=Ts-b.
A koszinusztételből cosγ-t az oldalak segítségével kifejezve kapjuk, hogy
cosγ=a2+b2-c22ab.
Állításunk bizonyításához elegendő tehát azt megmutatnunk, hogy
2abc4T(a2+b2-c22ab+1)=Ts-a+Ts-b.
Ezzel ekvivalens állítást kapunk, ha mindkét oldalt megszorozzuk 4T-vel és felhasználjuk Héron képletét, mely szerint T2=s(s-a)(s-b)(s-c).
2abc(a2+b2-c22ab+1)=4(s(s-b)(s-c)+s(s-a)(s-c)).
Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:
c(a2+b2-c2+2ab)=4s(s-c)((s-b)+(s-a)),
ami nyilvánvalóan teljesül, mert s definíciója miatt (s-b)+(s-a)=c és 4s(s-c)=2s(2s-2c)=(a+b)2-c2. Ezzel a lemmát beláttuk.
 
A lemmát használva a feladat kérdésére könnyen válaszolhatunk, hiszen a két adott egyenlet így írható:
2R(1+cosγ)=3Rés2R(1+cosα)=2R.
Az egyenleteket 2R-rel elosztva és rendezve kapjuk, hogy
cosγ=12éscosα=0,
amiből γ=60 és α=90.
Tehát a háromszög szögei 90, 60 és 180-(90+60)=30 lehetnek. Ellenőrizhető, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszögekben a körök sugaraira megkívánt összefüggések teljesülnek.