Kezdőlap


Feladat:	B.3670	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bednay Dezső , Birkus Róbert , Czank Tamás , Estélyi István , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Lorántfy Bettina , Sándor Ágnes Petra
Füzet:	2004/október, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszög nevezetes körei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3670

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a szokásos módon a háromszög oldalait $a$ , $b$ , $c$ , szögeit $α$ , $β$ , $γ$ , területét $T$ és kerületét $2 s$ . Először bebizonyítunk egy lemmát:

Tetszőleges háromszögben ha egy szög koszinuszának

1

-gyel növelt értékét megszorozzuk a körülírt kör sugarának kétszeresével, akkor a szöget bezáró két oldalhoz hozzáírt körök sugarának összegét kapjuk.

Bizonyítás: Mivel a szögek szerepe a háromszögben szimmetrikus, elegendő megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} 2 R (1 + cos γ) = r_{a} + r_{b} . \end{matrix}

Ismert (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 2002/3, 130‐139. old.), hogy

\begin{matrix} R = \frac{a b c}{4 T}, r_{a} = \frac{T}{s - a} és r_{b} = \frac{T}{s - b} . \end{matrix}

A koszinusztételből

cos γ

-t az oldalak segítségével kifejezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} . \end{matrix}

Állításunk bizonyításához elegendő tehát azt megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{a b c}{4 T} \cdot (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} + 1) = \frac{T}{s - a} + \frac{T}{s - b} . \end{matrix}

Ezzel ekvivalens állítást kapunk, ha mindkét oldalt megszorozzuk

4 T

-vel és felhasználjuk Héron képletét, mely szerint

T^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c)

\begin{matrix} 2 a b c \cdot (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} + 1) = 4 \cdot (s (s - b) (s - c) + s (s - a) (s - c)) . \end{matrix}

Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:

\begin{matrix} c \cdot (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b) = 4 s (s - c) ((s - b) + (s - a)), \end{matrix}

ami nyilvánvalóan teljesül, mert

s

definíciója miatt

(s - b) + (s - a) = c

és

4 s (s - c) = 2 s (2 s - 2 c) = {(a + b)}^{2} - c^{2}

. Ezzel a lemmát beláttuk.

A lemmát használva a feladat kérdésére könnyen válaszolhatunk, hiszen a két adott egyenlet így írható:

\begin{matrix} 2 R (1 + cos γ) = 3 R és 2 R (1 + cos α) = 2 R . \end{matrix}

Az egyenleteket

2 R

-rel elosztva és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos γ = \frac{1}{2} és cos α = 0, \end{matrix}

amiből

γ = 60^{\circ}

és

α = 90^{\circ}

.
Tehát a háromszög szögei

90^{\circ}

60^{\circ}

és

180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}

lehetnek. Ellenőrizhető, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszögekben a körök sugaraira megkívánt összefüggések teljesülnek.