Feladat: B.3665 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal László ,  Birkner Tamás ,  Bodnár József ,  Bősze Botond ,  Cseh Ágnes ,  Csizmadia János ,  Csorba János ,  Czank Tamás ,  Dudás László ,  Erdélyi Márton ,  Filus Tamás ,  Gehér György ,  Gyenizse Gergő ,  Halász Veronika ,  Hartmann Zoltán ,  Hegyháti Máté ,  Holló László ,  Hubai Tamás ,  Hujter Bálint ,  Kecskeméti Szabolcs ,  Király Csaba ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kórus Péter ,  Kovács Péter ,  Mészáros Gábor ,  Molnár András ,  Nándori Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Pótó Márton ,  Sándor Ágnes Petra ,  Stippinger Marcell ,  Strenner Balázs ,  Szabó Botond ,  Szabó Tamás ,  Szilágyi Dániel ,  Udvari Balázs ,  Vaskó Richárd ,  Visnovitz Ferenc ,  Üveges Lilla 
Füzet: 2004/szeptember, 336 - 337. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3665

Adott a síkon tizenhárom pont úgy, hogy közülük bármely öt között van négy, amelyek egy körön vannak. Bizonyítsuk be, hogy az adott pontok közül legalább hat egy körön van.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha mind a 13 pont egy körre illeszkedik, akkor nyilván ki tudunk választani közülük hatot, hogy azok egy körre essenek.
Ha viszont nincs olyan kör, amelyen mind a 13 pont rajta lenne, akkor található közöttük négy pont, A, B, C, D, amelyek nem esnek egy körre. A 4 pontból négyféleképpen tudunk hármat kiválasztani. Erre a háromra egyértelműen illeszthető vagy egy kör, vagy egy egyenes. Az illeszkedő idomokat jelöljük kA, kB, kC, kD-vel, ahol az index a kimaradó pontot jelöli.
Ha ezek után a 4 kiválasztott ponthoz hozzáadjuk a maradék 9 pont valamelyikét, a feladat szövege szerint a kapott 5 pontból négynek illeszkednie kell egy körre. Mivel ez a 4 nem lehet az A, B, C, D, azért a kör a kA, kB, kC, kD valamelyike kell legyen. Ez azt jelenti, hogy a kezdetben kihagyott 9 pont mindegyike illeszkedik a 4 görbe valamelyikére, továbbá, hogy amelyik görbére illeszkedik a 9 közül csak egy is, az kör kell legyen. 9 pontot 4 görbére csak úgy lehet elosztani, hogy legalább az egyikre legalább 3 pont kerül. Ehhez a 3 ponthoz hozzáadva az AB, C, D csoport azon 3 pontját, amellyel eredetileg a görbét definiáltuk, kapunk 6 pontot, amelyek illeszkednek az adott körre.