Feladat: C.745 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Hutyán Péter 
Füzet: 2004/szeptember, 332. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Oszthatóság, Természetes számok, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: C.745

Van-e 2004 olyan pozitív egész szám, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a 2004 szám mindegyike 1-es volna, akkor a számok összege 2004, szorzatuk 1, és ez nem felel meg a feladat követelményének. Kell tehát, hogy legyen a számok között legalább egy 1-től különböző. Ha csak egy ilyen szám van és azt x jelöli, akkor a feltétel szerint 2003+x=x. A feladatnak így sincs megoldása.
Tegyük fel, hogy a számok között 2 darab 1-től különböző van, jelöljük ezeket x-szel és y-nal. Ekkor

2002+x+y=xy,(1)
rendezve az egyenletet:
2002+y=x(y-1),innenx=2002+yy-1=2003+y-1y-1=1+2003y-1.
Ez akkor egész, ha y1 és 2003y-1 egész. Mivel 2003 prímszám, két eset lehetséges:
2003y-1=1, innen 2003=y-1, azaz y=2004 és x=2. Ekkor (1)-be helyettesítve: 2002+2004+2=22004, valóban teljesül az egyenlőség.
Vagy: 2003y-1=2003, innen y=2 és x=2004. Erről már beláttuk, hogy megoldása az (1) egyenletnek.
A feladatban feltett kérdésre a válasz tehát: igen. Egy megoldás: 2002 darab 1-es, egy 2-es és egy 2004-es.
 
Megjegyzés: Hutyán Péter (Győr, Czuczor Gergely Bencés Gimn., 11. évf.) azt is vizsgálta, hogy létezik-e a feladatnak más megoldása is. Három 1-estől különböző szám esetén (az előzőkhöz hasonló módon) azt találta, hogy az
1,1,1,...,12001  db,10,12,17
számok is jók. Továbbá 4 darab 1-től különböző számra az
1,1,1,...,12000  db,3,2,9,38
számok is eleget tesznek a feladat követelményének. A megfelelő diofantikus egyenletek programot használt.