Kezdőlap


Feladat:	C.745	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hutyán Péter
Füzet:	2004/szeptember, 332. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Oszthatóság, Természetes számok, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: C.745

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a 2004 szám mindegyike 1-es volna, akkor a számok összege 2004, szorzatuk 1, és ez nem felel meg a feladat követelményének. Kell tehát, hogy legyen a számok között legalább egy 1-től különböző. Ha csak egy ilyen szám van és azt $x$ jelöli, akkor a feltétel szerint $2003 + x = x$ . A feladatnak így sincs megoldása.
Tegyük fel, hogy a számok között 2 darab 1-től különböző van, jelöljük ezeket $x$ -szel és $y$ -nal. Ekkor

\begin{matrix} 2002 + x + y = x y, \end{matrix}

(1)

rendezve az egyenletet:

\begin{matrix} 2002 + y = x (y - 1), innen x = \frac{2002 + y}{y - 1} = \frac{2003 + y - 1}{y - 1} = 1 + \frac{2003}{y - 1} . \end{matrix}

Ez akkor egész, ha

y \neq 1

és

\frac{2003}{y - 1}

egész. Mivel 2003 prímszám, két eset lehetséges:

\frac{2003}{y - 1} = 1

, innen

2003 = y - 1

, azaz

y = 2004

és

x = 2

. Ekkor (1)-be helyettesítve:

2002 + 2004 + 2 = 2 \cdot 2004

, valóban teljesül az egyenlőség.
Vagy:

\frac{2003}{y - 1} = 2003

, innen

y = 2

és

x = 2004

. Erről már beláttuk, hogy megoldása az (1) egyenletnek.
A feladatban feltett kérdésre a válasz tehát: igen. Egy megoldás: 2002 darab 1-es, egy 2-es és egy 2004-es.

Megjegyzés: Hutyán Péter (Győr, Czuczor Gergely Bencés Gimn., 11. évf.) azt is vizsgálta, hogy létezik-e a feladatnak más megoldása is. Három 1-estől különböző szám esetén (az előzőkhöz hasonló módon) azt találta, hogy az

\begin{matrix} {\underset{︸}{1, 1, 1, ..., 1}}_{2001 db}^{}, 10, 12, 17 \end{matrix}

számok is jók. Továbbá 4 darab 1-től különböző számra az

\begin{matrix} {\underset{︸}{1, 1, 1, ..., 1}}_{2000 db}^{}, 3, 2, 9, 38 \end{matrix}

számok is eleget tesznek a feladat követelményének. A megfelelő diofantikus egyenletek programot használt.