Feladat: C.748 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Károlyi Gergely 
Füzet: 2004/október, 404 - 405. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: C.748

Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
sin(π3(x-x2-3x-12))=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. sinα pontosan akkor 0, ha α π-nek egész számú többszöröse, ezért az x egész szám akkor lesz megoldása az egyenletnek, ha x-x2-3x-12 3-mal osztható egész. Az oszthatóság miatt x2-3x-12-nek is egésznek kell lennie, jelöljük ezt a-val (a0).
Ekkor

x2-3x-12=a2.
4-gyel szorozva, majd teljes négyzetté kiegészítve:
4x2-12x-48=4a2,(2x-3)2-4a2=57.
Szorzattá alakítva:
(2x-3+2a)(2x-3-2a)=57.
Mivel a0, 2x-3+2a2x-3-2a. Az 57 prímtényezős felbontása: 57=319, így a következő esetek lehetségesek:
2x-3+2a2x-3-2a4aaxx-a571561416219316473-1-575614-13-27-3-19164-48
A táblázatból leolvashatjuk, hogy x-a akkor lesz osztható 3-mal, ha x=7, vagy x=-13.
Helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.