Kezdőlap


Feladat:	C.748	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Károlyi Gergely
Füzet:	2004/október, 404 - 405. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: C.748

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $sin α$ pontosan akkor 0, ha $α$ $π$ -nek egész számú többszöröse, ezért az $x$ egész szám akkor lesz megoldása az egyenletnek, ha $x - \sqrt[]{x^{2} - 3 x - 12}$ 3-mal osztható egész. Az oszthatóság miatt $\sqrt[]{x^{2} - 3 x - 12}$ -nek is egésznek kell lennie, jelöljük ezt $a$ -val ( $a \geq 0$ ).
Ekkor

\begin{matrix} x^{2} - 3 x - 12 = a^{2} . \end{matrix}

4-gyel szorozva, majd teljes négyzetté kiegészítve:

\begin{matrix} 4 x^{2} - 12 x - 48 = 4 a^{2}, {(2 x - 3)}^{2} - 4 a^{2} = 57. \end{matrix}

Szorzattá alakítva:

\begin{matrix} (2 x - 3 + 2 a) (2 x - 3 - 2 a) = 57. \end{matrix}

Mivel

a \geq 0

2 x - 3 + 2 a \geq 2 x - 3 - 2 a

. Az 57 prímtényezős felbontása:

57 = 3 \cdot 19

, így a következő esetek lehetségesek:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 x - 3 + 2 a & 2 x - 3 - 2 a & 4 a & a & x & x - a \\ 57 & 1 & 56 & 14 & 16 & 2 \\ 19 & 3 & 16 & 4 & 7 & 3 \\ - 1 & - 57 & 56 & 14 & - 13 & - 27 \\ - 3 & - 19 & 16 & 4 & - 4 & 8 \end{matrix} \end{matrix}

A táblázatból leolvashatjuk, hogy

x - a

akkor lesz osztható 3-mal, ha

x = 7

, vagy

x = - 13

.
Helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.