Feladat: B.3666 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Poronyi Balázs 
Füzet: 2004/május, 283 - 285. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos sokszögek által határolt testek, Kocka, Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3666

Adjunk meg egy kocka minden lapjának a belsejében egy-egy négyzetet úgy, hogy a négyzetek csúcsai által meghatározott konvex test minden lapja szabályos sokszög legyen.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Annak érdekében, hogy minél egyszerűbb legyen a megoldás, válasszuk a kocka élhosszúságát 1-nek. Legyenek a négyzetek egybevágóak, a középpontjaik essenek egybe az őket tartalmazó kockalapok középpontjaival, az oldalaik pedig legyenek párhuzamosak a kockát határoló lapok oldalaival (1. eset) vagy azok átlóival (2. eset).
Mindkét lehetőséget megvizsgáljuk.
Ha a négyzet oldalai párhuzamosak a kocka éleivel, akkor az 1. ábra szerinti testet kaphatjuk. Ezt a testet a 6 négyzeten kívül 12 négyszög és 8 háromszög határolja. A 12 négyszög a négyzetek felvétele miatt biztosan téglalap. Ha ezek a téglalapok egyben négyzetek is, akkor a háromszögek is szabályosak.

 
 

1. ábra
 

Ez pontosan akkor teljesül, ha az oldalak belsejébe írt négyzetek oldalai ugyanolyan hosszúságúak, mint a két szomszédos lapra írt négyzetek legközelebb eső csúcspontjainak a távolsága. Készítsünk el egy alkalmas síkmetszetet (2. ábra). Ez nem más, mint egy négyzetbe írt szabályos nyolcszög. Ha a nyolcszög oldalát x jelöli, akkor a befoglaló négyzet oldala (2+1)x, tehát a beírt négyzet oldalhosszúsága, x=12+1. Így tehát a feladat előírásainak megfelelő testet kapunk.
 
 

2. ábra
 

 
Ha most úgy vesszük föl a négyzeteket, hogy oldalaik a megfelelő lapok átlóival párhuzamosak legyenek, akkor egy lehetséges konstrukció a következő:
Osszuk fel a kockát 64 db 14 élű kockára. A keletkezett rácspontok közül választjuk ki a test csúcsait a korábban említett speciális módon. (Minden lap belsejében olyan rácsnégyzetet veszünk fel, amelynek oldalai az átlókkal párhuzamosak, középpontjuk egybeesik a lapközépponttal. Ez egyértelmű, minden oldalon pontosan egy ilyen van.)
Ekkor a kockában a 3. ábra szerinti testet kapjuk.
 
 

3. ábra
 

A négyzetek természetesen szabályosak, a hatszögek pedig egy-egy, a kocka csúcsára illeszkedő 2×2×2-es kocka szabályos hatszög síkmetszetét adják. Ezekről a hatszögekről látható, hogy oldalaik és szögeik egyenlők, és minden oldaluk merőleges a kiskocka határon levő csúcsából induló testátlójára (4. ábra).
 
 

4. ábra
 

Megjegyzés. Ez a két test még a speciális elhelyezkedésű négyzetekkel kapható lehetőségek közül sem az összes. Az első esetben két szemközti lapon a négyzetek akármelyikét 45-kal elforgatva ismét megfelelő testet kapunk, mert a két szemközti lap között egy szabályos nyolcszög alapú hasáb található, amely ,,nem érzékeny'' a szimmetriatengely körüli 45-os elforgatásra. Ha a két szemközti négyzetet forgatjuk el 45-kal, továbbra is ugyanazt a testet kapjuk, csak a két elforgatott négyzet más helyzetben lesz a saját kockalapján. Ha pedig csak az egyik négyzetet forgatjuk el, akkor egy újabb testet kapunk, amely továbbra is rendelkezik a szükséges tulajdonságokkal (5. ábra). További megoldást láthatunk a címlapon.
 
 

5. ábra