Kezdőlap


Feladat:	B.3666	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Poronyi Balázs
Füzet:	2004/május, 283 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek által határolt testek, Kocka, Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3666

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Annak érdekében, hogy minél egyszerűbb legyen a megoldás, válasszuk a kocka élhosszúságát 1-nek. Legyenek a négyzetek egybevágóak, a középpontjaik essenek egybe az őket tartalmazó kockalapok középpontjaival, az oldalaik pedig legyenek párhuzamosak a kockát határoló lapok oldalaival (1. eset) vagy azok átlóival (2. eset).
Mindkét lehetőséget megvizsgáljuk.
Ha a négyzet oldalai párhuzamosak a kocka éleivel, akkor az 1. ábra szerinti testet kaphatjuk. Ezt a testet a 6 négyzeten kívül 12 négyszög és 8 háromszög határolja. A 12 négyszög a négyzetek felvétele miatt biztosan téglalap. Ha ezek a téglalapok egyben négyzetek is, akkor a háromszögek is szabályosak.

1. ábra

Ez pontosan akkor teljesül, ha az oldalak belsejébe írt négyzetek oldalai ugyanolyan hosszúságúak, mint a két szomszédos lapra írt négyzetek legközelebb eső csúcspontjainak a távolsága. Készítsünk el egy alkalmas síkmetszetet (2. ábra). Ez nem más, mint egy négyzetbe írt szabályos nyolcszög. Ha a nyolcszög oldalát

x

jelöli, akkor a befoglaló négyzet oldala

(\sqrt[]{2} + 1) x

, tehát a beírt négyzet oldalhosszúsága,

x = \frac{1}{\sqrt[]{2} + 1}

. Így tehát a feladat előírásainak megfelelő testet kapunk.

2. ábra

Ha most úgy vesszük föl a négyzeteket, hogy oldalaik a megfelelő lapok átlóival párhuzamosak legyenek, akkor egy lehetséges konstrukció a következő:
Osszuk fel a kockát 64 db

\frac{1}{4}

élű kockára. A keletkezett rácspontok közül választjuk ki a test csúcsait a korábban említett speciális módon. (Minden lap belsejében olyan rácsnégyzetet veszünk fel, amelynek oldalai az átlókkal párhuzamosak, középpontjuk egybeesik a lapközépponttal. Ez egyértelmű, minden oldalon pontosan egy ilyen van.)
Ekkor a kockában a 3. ábra szerinti testet kapjuk.

3. ábra

A négyzetek természetesen szabályosak, a hatszögek pedig egy-egy, a kocka csúcsára illeszkedő

2 \times 2 \times 2

-es kocka szabályos hatszög síkmetszetét adják. Ezekről a hatszögekről látható, hogy oldalaik és szögeik egyenlők, és minden oldaluk merőleges a kiskocka határon levő csúcsából induló testátlójára (4. ábra).

4. ábra

Megjegyzés. Ez a két test még a speciális elhelyezkedésű négyzetekkel kapható lehetőségek közül sem az összes. Az első esetben két szemközti lapon a négyzetek akármelyikét

45^{\circ}

-kal elforgatva ismét megfelelő testet kapunk, mert a két szemközti lap között egy szabályos nyolcszög alapú hasáb található, amely ,,nem érzékeny'' a szimmetriatengely körüli

45^{\circ}

-os elforgatásra. Ha a két szemközti négyzetet forgatjuk el

45^{\circ}

-kal, továbbra is ugyanazt a testet kapjuk, csak a két elforgatott négyzet más helyzetben lesz a saját kockalapján. Ha pedig csak az egyik négyzetet forgatjuk el, akkor egy újabb testet kapunk, amely továbbra is rendelkezik a szükséges tulajdonságokkal (5. ábra). További megoldást láthatunk a címlapon.

5. ábra