Feladat: B.3647 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Balogh Tamás ,  Bartha Emőke ,  Bednay Dezső ,  Birkus Róbert ,  Bitai Tamás ,  Czank Tamás ,  Erdélyi Márton ,  Farkas Balázs ,  Fehér Borbála ,  Fehér Gábor ,  Fekete László ,  Füredi Mihály ,  Gehér György ,  Gombkötő Tamás ,  Gyarmati Ákos ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Juhász Máté Lehel ,  Komáromy Dani ,  Komjáthy Júlia ,  Koreck Péter ,  Kórus Péter ,  Kovács Levente ,  Mánfay Máté ,  Nagy Péter ,  Nándori Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Pongrácz András ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Judit ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs ,  Tábor Áron ,  Vaskó Richárd ,  Vass Márton 
Füzet: 2004/május, 275 - 277. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/május: B.3647

Az ABC háromszög AB oldalának egy belső pontja X, BC egy belső pontja Y. AY és CX metszéspontja Z. Bizonyítsuk be, hogy ha AY=YC és AB=ZC, akkor a B, X, Y, Z pontok egy körön vannak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszög szögei a szokásos jelölésekkel α, β, γ. A szinusz-tétel szerint

sinABYsinAYB=AYAB=CYCZ=sinCZYsinCYZ.
Mivel AYB+CYZ=180, azért a két szög szinusza egyenlő, tehát sinABY=sinCZY. Mindkét szög 180-nál kisebb, ezért két eset van.
 
 

1. ábra
 

1. ABY=CZY. Ekkor a BXZY négyszög szemközti szögeinek összege:
ABY+XZY=ABY+180-CZY=180,
tehát BXZY húrnégyszög, így csúcsai valóban egy körön vannak.
2. ABY=180-CZY. Ekkor ABY=β, így AZC=β. De AYC egyenlő szárú háromszög, mert AY=YC, ezért CAY=γ, és α+β+γ=180 miatt ZCA=α. Viszont X és Y belső pontok, ezért α=BAC>YAC=γ és γ=BCA>ZCA=α. Az egyenlőtlenségek élesek, ezért ez az eset nem lehetséges. Más eset nincs, az állítást beláttuk.
 

Megjegyzés. Mivel a Z pont a háromszög belsejében van, AZC>AXC>ABC, tehát a 2. eset nem fordulhat elő.
 

 
II. megoldás. Mivel AY=YC, azért az AYC háromszög egyenlő szárú, alapja AC; legyen AC felezőpontja F. Mivel AYC egyenlő szárú háromszög, azért YF a szimmetriatengelye. Tükrözzük YF-re az AYC háromszöget. Ekkor C képe A, Z képe Z' és AZ'=CZ=AB. Így a BAZ' háromszög is egyenlő szárú, ezért az alapon fekvő szögei egyenlők: ABZ'=AZ'B=β. A tükrözés miatt YZ'A=YZC=β, és így YZX=180-β. A BXZY négyszög két szemközti szögének összege:
YBX+YZX=β+180-β=180,
így a BXZY négyszög húrnégyszög, B, X, Y, Z valóban egy körön vannak.
 
 

2. ábra
 

Megjegyzés: A megoldásból látható, hogy a megadott feltételek csak akkor teljesülhetnek, ha az ABC háromszög B csúcsánál lévő szöge hegyesszög.