Kezdőlap


Feladat:	B.3647	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes , Balogh Tamás , Bartha Emőke , Bednay Dezső , Birkus Róbert , Bitai Tamás , Czank Tamás , Erdélyi Márton , Farkas Balázs , Fehér Borbála , Fehér Gábor , Fekete László , Füredi Mihály , Gehér György , Gombkötő Tamás , Gyarmati Ákos , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Juhász Máté Lehel , Komáromy Dani , Komjáthy Júlia , Koreck Péter , Kórus Péter , Kovács Levente , Mánfay Máté , Nagy Péter , Nándori Péter , Pálinkás Csaba , Pongrácz András , Poronyi Balázs , Rácz Judit , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Tábor Áron , Vaskó Richárd , Vass Márton
Füzet:	2004/május, 275 - 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3647

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszög szögei a szokásos jelölésekkel $α$ , $β$ , $γ$ . A szinusz-tétel szerint

\begin{matrix} \frac{sin A B Y ∢}{sin A Y B ∢} = \frac{A Y}{A B} = \frac{C Y}{C Z} = \frac{sin C Z Y ∢}{sin C Y Z ∢} . \end{matrix}

Mivel

A Y B ∢ + C Y Z ∢ = 180^{\circ}

, azért a két szög szinusza egyenlő, tehát

sin A B Y ∢ = sin C Z Y ∢

. Mindkét szög

180^{\circ}

-nál kisebb, ezért két eset van.

1. ábra

A B Y ∢ = C Z Y ∢

. Ekkor a

B X Z Y

négyszög szemközti szögeinek összege:

\begin{matrix} A B Y ∢ + X Z Y ∢ = A B Y ∢ + 180^{\circ} - C Z Y ∢ = 180^{\circ}, \end{matrix}

tehát

B X Z Y

húrnégyszög, így csúcsai valóban egy körön vannak.
2.

A B Y ∢ = 180^{\circ} - C Z Y ∢

. Ekkor

A B Y ∢ = β

, így

A Z C ∢ = β

. De

A Y C

egyenlő szárú háromszög, mert

A Y = Y C

, ezért

C A Y ∢ = γ

, és

α + β + γ = 180^{\circ}

miatt

Z C A ∢ = α

. Viszont

X

és

Y

belső pontok, ezért

α = B A C ∢ > Y A C ∢ = γ

és

γ = B C A ∢ > Z C A ∢ = α

. Az egyenlőtlenségek élesek, ezért ez az eset nem lehetséges. Más eset nincs, az állítást beláttuk.

Megjegyzés. Mivel a

Z

pont a háromszög belsejében van,

A Z C ∢ > A X C ∢ > A B C ∢

, tehát a 2. eset nem fordulhat elő.

II. megoldás. Mivel

A Y = Y C

, azért az

A Y C

háromszög egyenlő szárú, alapja

A C

; legyen

A C

felezőpontja

F

. Mivel

A Y C

egyenlő szárú háromszög, azért

Y F

a szimmetriatengelye. Tükrözzük

Y F

-re az

A Y C

háromszöget. Ekkor

C

képe

A

Z

képe

Z'

és

A Z' = C Z = A B

. Így a

B A Z'

háromszög is egyenlő szárú, ezért az alapon fekvő szögei egyenlők:

A B Z' ∢ = A Z' B ∢ = β

. A tükrözés miatt

Y Z' A ∢ = Y Z C ∢ = β

, és így

Y Z X ∢ = 180^{\circ} - β

. A

B X Z Y

négyszög két szemközti szögének összege:

\begin{matrix} Y B X ∢ + Y Z X ∢ = β + 180^{\circ} - β = 180^{\circ}, \end{matrix}

így a

B X Z Y

négyszög húrnégyszög,

B

X

Y

Z

valóban egy körön vannak.

2. ábra

Megjegyzés: A megoldásból látható, hogy a megadott feltételek csak akkor teljesülhetnek, ha az

A B C

háromszög

B

csúcsánál lévő szöge hegyesszög.