Feladat: B.3690 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gehér György ,  Poronyi Balázs 
Füzet: 2004/november, 472 - 474. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellipszis, mint kúpszelet, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: B.3690

Adott az E ellipszis nagytengelyének két végpontja, az ellipszis e érintője és azon egy P pont. Szerkesszük meg a P-ből E-hez húzható másik érintőt.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a nagytengely két adott végpontját A-val, illetve B-vel, az ellipszis fókuszait F1-gyel és F2-vel, főkörét (ami nem más, mint az AB szakasz Thalész-köre) pedig k-val (1. ábra).

 
 

1. ábra
 

Ismert (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a kúpszeletekről c. cikkét e számunk 450. oldalán), hogy egy g egyenes pontosan akkor érinti E-t, ha F1-ből és F2-ből a g-re állított merőlegesek talppontjai k-n vannak. Ezt felhasználva a szerkesztés menete: Megszerkesztjük az AB szakasz Thalész-körét, k-t, majd pedig k és e metszéspontjait, Q-t és S-et. Ezek egyikében ‐ az ábrán Q-ban ‐ merőlegest állítunk e-re, ez a merőleges kimetszi az AB szakaszból E egyik fókuszát, F1-et. Megrajzoljuk az F1P szakasz Thalész-körét, ennek és k-nak a Q-tól különböző R metszéspontja lesz az F1-ből a P-n átmenő E-hez húzható másik érintőre bocsátott merőleges talppontja. Végül összekötve P-t R-rel kapjuk a keresett érintőt.
Ha e két különböző pontban metszi k-t, de nem metszi az AB szakaszt, akkor egy megoldása van a feladatnak. Ha ugyanis Q és F1 helyett az S és F2 pontokat használjuk a szerkesztéshez, akkor az F2P szakasz Thalész-körének és k-nak az S-től különböző T metszéspontjára teljesül, hogy RT felezőmerőlegese, h, átmegy k középpontján, O-n. Viszont O egyúttal az F1F2 szakasz felezőpontja is, ezért F1R és h párhuzamosságából következik h és F2T párhuzamossága (2. ábra), tehát T rajta van F2P Thalész-körén. Ha e két pontban metszi k-t, de metszi az AB szakaszt is, akkor nyilván nincs megoldás. Ha e érinti k-t és az érintési pont A vagy B, akkor az adatok alapján nem lehet meghatározni a P-ből húzható másik érintőt. Ha e olyan pontban érinti k-t, amely A-tól is és B-től is különbözik, akkor E megegyezik k-val (a kört elfajult ellipszisnek tekinthetjük). Ebben az esetben P-ből az ismert módon szerkeszthetünk érintőt k-hoz. Végül, ha e-nek és k-nak nincs közös pontja, akkor a feladatnak nincs megoldása.
 
 

2. ábra
 

 
II. megoldás. A jelölések és a diszkusszió megegyezik az I. megoldásban leírtakkal, csak a szerkesztés menetére adunk más eljárást.
Ismert, hogy k-t egy olyan merőleges tengelyes affinitás viszi át E-be, melynek tengelye az AB egyenes. Ennek az affinitásnak az inverze az e egyenest a k kört érintő g egyenesbe viszi. Legyen e és az AB egyenes metszéspontja H. Ekkor H az affinitásnál helyben marad, ezért g is átmegy rajta. Tehát g-t megkapjuk, ha H-ból megszerkesztjük azt a k-hoz húzott érintőt, amelyik az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán érinti k-t, ahol P van. Ha P-nek az affinitás inverzénél kapott képét R jelöli, akkor R-t megszerkeszthetjük, mert ez a P-ből AB-re állított merőleges és g metszéspontja. Ezután szerkesszük meg az R-ből k-hoz húzott másik érintőt, jelöljük ezt f-fel. Mivel a k-t E-be vivő affinitás k érintőit E érintőibe viszi, azért f-nek az affinitásnál kapott képe éppen a keresett érintő. Ezt legegyszerűbben úgy szerkeszthetjük meg, hogy f és az AB egyenes ‐ a 3. ábrán F-fel jelölt ‐ metszéspontját (ami az affinitás fixpontja) összekötjük P-vel.
 
 

3. ábra