A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a nagytengely két adott végpontját -val, illetve -vel, az ellipszis fókuszait -gyel és -vel, főkörét (ami nem más, mint az szakasz Thalész-köre) pedig -val (1. ábra).
1. ábra Ismert (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a kúpszeletekről c. cikkét e számunk 450. oldalán), hogy egy egyenes pontosan akkor érinti -t, ha -ből és -ből a -re állított merőlegesek talppontjai -n vannak. Ezt felhasználva a szerkesztés menete: Megszerkesztjük az szakasz Thalész-körét, -t, majd pedig és metszéspontjait, -t és -et. Ezek egyikében ‐ az ábrán -ban ‐ merőlegest állítunk -re, ez a merőleges kimetszi az szakaszból egyik fókuszát, -et. Megrajzoljuk az szakasz Thalész-körét, ennek és -nak a -tól különböző metszéspontja lesz az -ből a -n átmenő -hez húzható másik érintőre bocsátott merőleges talppontja. Végül összekötve -t -rel kapjuk a keresett érintőt. Ha két különböző pontban metszi -t, de nem metszi az szakaszt, akkor egy megoldása van a feladatnak. Ha ugyanis és helyett az és pontokat használjuk a szerkesztéshez, akkor az szakasz Thalész-körének és -nak az -től különböző metszéspontjára teljesül, hogy felezőmerőlegese, , átmegy középpontján, -n. Viszont egyúttal az szakasz felezőpontja is, ezért és párhuzamosságából következik és párhuzamossága (2. ábra), tehát rajta van Thalész-körén. Ha két pontban metszi -t, de metszi az szakaszt is, akkor nyilván nincs megoldás. Ha érinti -t és az érintési pont vagy , akkor az adatok alapján nem lehet meghatározni a -ből húzható másik érintőt. Ha olyan pontban érinti -t, amely -tól is és -től is különbözik, akkor megegyezik -val (a kört elfajult ellipszisnek tekinthetjük). Ebben az esetben -ből az ismert módon szerkeszthetünk érintőt -hoz. Végül, ha -nek és -nak nincs közös pontja, akkor a feladatnak nincs megoldása.
2. ábra
II. megoldás. A jelölések és a diszkusszió megegyezik az I. megoldásban leírtakkal, csak a szerkesztés menetére adunk más eljárást. Ismert, hogy -t egy olyan merőleges tengelyes affinitás viszi át -be, melynek tengelye az egyenes. Ennek az affinitásnak az inverze az egyenest a kört érintő egyenesbe viszi. Legyen és az egyenes metszéspontja . Ekkor az affinitásnál helyben marad, ezért is átmegy rajta. Tehát -t megkapjuk, ha -ból megszerkesztjük azt a -hoz húzott érintőt, amelyik az egyenesnek ugyanazon az oldalán érinti -t, ahol van. Ha -nek az affinitás inverzénél kapott képét jelöli, akkor -t megszerkeszthetjük, mert ez a -ből -re állított merőleges és metszéspontja. Ezután szerkesszük meg az -ből -hoz húzott másik érintőt, jelöljük ezt -fel. Mivel a -t -be vivő affinitás érintőit érintőibe viszi, azért -nek az affinitásnál kapott képe éppen a keresett érintő. Ezt legegyszerűbben úgy szerkeszthetjük meg, hogy és az egyenes ‐ a 3. ábrán -fel jelölt ‐ metszéspontját (ami az affinitás fixpontja) összekötjük -vel.
3. ábra |