Feladat: 3621. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pálinkás Csaba ,  Ruppert László 
Füzet: 2004/január, 52 - 53. oldal  PDF file
Témakör(ök): Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Sikkondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: 3621. fizika feladat

Egy dugattyúval elzárt hengeres edényben gáz van. A henger fala szigetelő, alaplapja és a dugattyú azonban fémből készült, és síkkondenzátorként viselkedik, ha elektromos feszültséget kapcsolunk rá. Kezdetben a fegyverzetek közötti távolság d0, a bezárt gáz nyomása megegyezik a külső légnyomással.
 
 

Hogyan változik a fegyverzetek közötti távolság, ha U feszültségre kapcsoljuk a ,,kondenzátort''? Tegyük fel, hogy a gáz hőmérséklete állandó.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a kondenzátorra feszültséget kapcsolunk, akkor a lemezek (a henger alaplapja és a dugattyú) ellentétes töltésekkel feltöltődnek, és vonzani kezdik egymást. A dugattyú emiatt elmozdul, a gáz térfogata csökken, a gáz nyomása pedig megnő. Az egyensúly akkor áll be, amikor a dugattyúra ható erők (amelyek a külső és a belső gáznyomásból, valamint az elektromos vonzásból származnak) eredője nulla lesz. Legyen ekkor a lemezek távolsága d!
A gáz hőmérséklete állandó, így a Boyle‐Mariotte-törvény alapján pV=p0V0, azaz p=p0V0V=p0d0d. A kondenzátor A nagyságú lemezeire került töltés

Q=CU=ε0AdU,
a kialakuló elektromos mező térerőssége E=U/d, a lemezekre ható elektromos vonzóerő pedig Fe=12QE=12ε0AU2d2. A dugattyúra ható eredő erő
F=Fe+p0A-pA=12ε0AU2d2+p0A-p0d0dA=0.
Innen d-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p0d2-p0d0d+12ε0U2=0, amelynek gyökei
d1,2=d02(11-2ε0U2p0d02).
Mindkét megoldásnak megfelelő helyzetben fennáll az erőegyensúly, ám nem lesz mindkét esetben stabil egyensúlyban a dugattyú.
 
 

A stabilitási viszonyok tisztázása érdekében ábrázoljuk vázlatosan a dugattyúra ható eredő erőt a d távolság függvényében! (A gáz térfogatát csökkenteni igyekvő erőket választjuk pozitívnak.) A grafikonról leolvashatjuk, hogy a nagyobb gáztérfogatnak megfelelő d2 a stabil, a másik megoldás pedig az instabil egyensúlyi helyzetet adja meg. (Legyen pl. d egy kicsivel nagyobb, mint d2, ekkor az eredő erő pozitív, tehát d csökkenni fog. Hasonlóan, ha d egy kicsivel kisebb, mint d2, akkor az eredő erő negatív, emiatt a lemezek távolsága növekedni kezd. Mindkét eset azt mutatja, hogy a d=d2 helyzet stabil. A másik egyensúly közelében az erők eredője éppen ellentétes előjelű, tehát az ebből a helyzetből kicsit kimozdított dugattyú egyre jobban eltávolodik az egyensúlyi állapottól.)
A fenti megoldás csak akkor érvényes, ha a másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív, azaz U<Ukritikus=d0p02ε0. Amennyiben UUkritikus teljesülne, a fenti egyenletek alapján számolva a dugattyúnak semekkora véges d érték mellett sem lenne stabil egyensúlyi helyzete, és a gáz térfogata látszólag egészen nulláig csökkenne.
 
Megjegyzés. A gáz térfogata persze még UUkritikus esetben sem fog nullára csökkenni, ennek több oka is van. Kis térfogatnál (nagy sűrűségnél) a levegő már nem tekinthető ideális gáznak, izotermikus állapotváltozását a Boyle‐Mariotte-törvény nem írja le helyesen. Elegendő nagy nyomáson a levegő cseppfolyósodik. Ha esetleg olyan gázt tartalmazna az edény, amely nagyon nagy nyomáson is ideálisnak tekinthető, akkor a vizsgált folyamatban a tartály előbb-utóbb felrobbanna.
A kritikus feszültségnél az elektromos térerősség már a kezdeti állapotban
E=Ukritikusd0=p02ε075MVm
lenne, ez pedig több mint 20-szorosa a száraz levegő kritikus (átütési) térerősségének (és még az igen jó szigetelő csillámét is meghaladja)! Ha valamilyen különleges gáz kritikus térerőssége esetleg nagyobb lenne a kezdeti állapotban fellépő elektromos térerősségnél, mivel a kondenzátor lemezeinek közeledtével a térerősség egyre növekszik, még ez a gáz is előbb vagy utóbb átütne.