Kezdőlap


Feladat:	3621. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálinkás Csaba , Ruppert László
Füzet:	2004/január, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Sikkondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: 3621. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a kondenzátorra feszültséget kapcsolunk, akkor a lemezek (a henger alaplapja és a dugattyú) ellentétes töltésekkel feltöltődnek, és vonzani kezdik egymást. A dugattyú emiatt elmozdul, a gáz térfogata csökken, a gáz nyomása pedig megnő. Az egyensúly akkor áll be, amikor a dugattyúra ható erők (amelyek a külső és a belső gáznyomásból, valamint az elektromos vonzásból származnak) eredője nulla lesz. Legyen ekkor a lemezek távolsága $d$ !
A gáz hőmérséklete állandó, így a Boyle‐Mariotte-törvény alapján $p V = p_{0} V_{0}$ , azaz $p = p_{0} \frac{V_{0}}{V} = p_{0} \frac{d_{0}}{d}$ . A kondenzátor $A$ nagyságú lemezeire került töltés

\begin{matrix} Q = C U = ε_{0} \frac{A}{d} U, \end{matrix}

a kialakuló elektromos mező térerőssége

E = U / d

, a lemezekre ható elektromos vonzóerő pedig

F_{e} = \frac{1}{2} Q E = \frac{1}{2} ε_{0} \frac{A U^{2}}{d^{2}}

. A dugattyúra ható eredő erő

\begin{matrix} \sum F = F_{e} + p_{0} A - p A = \frac{1}{2} ε_{0} \frac{A U^{2}}{d^{2}} + p_{0} A - p_{0} \frac{d_{0}}{d} A = 0. \end{matrix}

Innen

d

-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

p_{0} d^{2} - p_{0} d_{0} d + \frac{1}{2} ε_{0} U^{2} = 0

, amelynek gyökei

\begin{matrix} d_{1,2} = \frac{d_{0}}{2} (1 \mp \sqrt[]{1 - \frac{2 ε_{0} U^{2}}{p_{0} d_{0}^{2}}}) . \end{matrix}

Mindkét megoldásnak megfelelő helyzetben fennáll az erőegyensúly, ám nem lesz mindkét esetben stabil egyensúlyban a dugattyú.

A stabilitási viszonyok tisztázása érdekében ábrázoljuk vázlatosan a dugattyúra ható eredő erőt a

d

távolság függvényében! (A gáz térfogatát csökkenteni igyekvő erőket választjuk pozitívnak.) A grafikonról leolvashatjuk, hogy a nagyobb gáztérfogatnak megfelelő

d_{2}

a stabil, a másik megoldás pedig az instabil egyensúlyi helyzetet adja meg. (Legyen pl.

d

egy kicsivel nagyobb, mint

d_{2}

, ekkor az eredő erő pozitív, tehát

d

csökkenni fog. Hasonlóan, ha

d

egy kicsivel kisebb, mint

d_{2}

, akkor az eredő erő negatív, emiatt a lemezek távolsága növekedni kezd. Mindkét eset azt mutatja, hogy a

d = d_{2}

helyzet stabil. A másik egyensúly közelében az erők eredője éppen ellentétes előjelű, tehát az ebből a helyzetből kicsit kimozdított dugattyú egyre jobban eltávolodik az egyensúlyi állapottól.)
A fenti megoldás csak akkor érvényes, ha a másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív, azaz

U < U_{kritikus} = d_{0} \sqrt[]{\frac{p_{0}}{2 ε_{0}}}

. Amennyiben

U \geq U_{kritikus}

teljesülne, a fenti egyenletek alapján számolva a dugattyúnak semekkora véges

d

érték mellett sem lenne stabil egyensúlyi helyzete, és a gáz térfogata látszólag egészen nulláig csökkenne.

Megjegyzés. A gáz térfogata persze még

U \geq U_{kritikus}

esetben sem fog nullára csökkenni, ennek több oka is van. Kis térfogatnál (nagy sűrűségnél) a levegő már nem tekinthető ideális gáznak, izotermikus állapotváltozását a Boyle‐Mariotte-törvény nem írja le helyesen. Elegendő nagy nyomáson a levegő cseppfolyósodik. Ha esetleg olyan gázt tartalmazna az edény, amely nagyon nagy nyomáson is ideálisnak tekinthető, akkor a vizsgált folyamatban a tartály előbb-utóbb felrobbanna.
A kritikus feszültségnél az elektromos térerősség már a kezdeti állapotban

\begin{matrix} E = \frac{U_{kritikus}}{d_{0}} = \sqrt[]{\frac{p_{0}}{2 ε_{0}}} \approx 75 \frac{MV}{m} \end{matrix}

lenne, ez pedig több mint 20-szorosa a száraz levegő kritikus (átütési) térerősségének (és még az igen jó szigetelő csillámét is meghaladja)! Ha valamilyen különleges gáz kritikus térerőssége esetleg nagyobb lenne a kezdeti állapotban fellépő elektromos térerősségnél, mivel a kondenzátor lemezeinek közeledtével a térerősség egyre növekszik, még ez a gáz is előbb vagy utóbb átütne.