Feladat: 3585. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Márton ,  Szabó Áron 
Füzet: 2004/január, 49 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Megosztás, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Mozgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: 3585. fizika feladat

Derékszögben meghajlított, igen nagy kiterjedésű, vékony fémlap mindkét lapjától egyaránt d távolságra elhelyezünk egy m tömegű, Q töltésű kicsiny testet, majd elengedjük.
 
 

a) Mekkora gyorsulással indul el a test?
b) Mekkora lesz a sebessége, amikor már d/2 utat megtett?
(A gravitáció hatását elhanyagolhatjuk.)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A derékszögben meghajlított nagyméretű (,,végtelen'' nagynak tekinthető) fémlap hatása olyan, mintha a Q töltésnek a két síkra vonatkoztatott tükörképénél lenne egy-egy -Q töltésű, a sarokra vonatkoztatott tükörképnél pedig egy +Q töltésű kicsiny test (1. ábra). (A fémlap mentén a négy töltés eredő potenciálja, amely egymást páronként kiejtő tagok összegeként áll elő, azonosan nulla, vagyis állandó. Ez a feltétel, amely az elektrosztatikában fémekre mindig igaz, a ,,kétszeresen tükrözött'' pontba helyezett +Q töltés nélkül nyilván nem teljesülne.)

 
 

1. ábra
 

a) A testre ható eredő erő a három tükörtöltés által kifejtett F1, F2 és F3 erő vektori összege (2. ábra), ahol
|F1|=|F2|=kQ2(2d)2,|F3|=kQ2(22d)2.
Ez az eredő erő az elrendezés szimmetriatengelye mentén hat (vagyis a fémlemez hajlata felé mutat), és a nagysága határozza meg a test kezdeti a gyorsulását:
12F1+12F2-F3=kQ28d2(22-1)=ma,
ahonnan
a=22-18kQ2md20,23kQ2md2.

 
 

2. ábra
 

b) A test a fémlemez hajlata felé gyorsul, tehát az egyes lemezektől mért távolsága minden pillanatban megegyezik. Jelöljük ezt a távolságot x-szel! A testre ható eredő erő minden pillanatban a kezdeti erőhöz hasonlóan számítható. Az eredmény a fenti képlettől csak annyiban különbözik, hogy d helyett x szerepel benne. (Az erőt úgy számíthatjuk ki, hogy a ténylegesen mozgó testtel együtt mozgónak képzeljük el a ,,virtuális'' tükörtöltéseket is.)
Az eredő erő F(x) nagyságának ismeretében a test sebességét a munkatétel segítségével számíthatjuk ki. Az erő munkáját (amely megadja a test mozgási energiájának megváltozását) pl. integrálszámítással határozhatjuk meg:
12mv2=W=-dd/2F(x)2dx=kQ2222-18d/2d1x2dx=4-28kQ2d.
Innen a test sebessége
v=(1-122)kQ2md0,8kQ2md.

Elemi úton, integrálszámítás nélkül is meghatározhatjuk a test sebességét a kérdéses pontban. Képzeljük el, hogy a kezdőpillanatban vizsgált testtel azonos tömegű és az 1. ábrán látható töltésű valódi testeket helyezünk a tükörtöltéseknek megfelelő pontokba, majd a rendszert magára hagyjuk. Ekkor mind a négy test ugyanolyan módon fog gyorsulni, tehát a rendszer a mozgása során megőrzi a négyzet alakot és a négy test sebességének nagysága minden pillanatban egymással megegyező lesz. A rendszer teljes energiája ‐ vagyis a 4 test mozgási energiájának és a 6 töltéspár elektrosztatikus kölcsönhatási energiájának összege ‐ a mozgás során változatlan marad:
-4kQ22d+2kQ222d=4mv22-4kQ22(d/2)+2kQ222(d/2).
Innen a sebességet kifejezve a korábbival megegyező kifejezést kapunk.
 
Megjegyzés. Nagyon lényeges, hogy a rendszer potenciális energiájának csökkenését ne csupán a ténylegesen mozgó (valódi) test mozgási energia-változásával tegyük egyenlővé, hanem a (ténylegesen nem létező, mindössze a számítást megkönnyítő) tükörtöltések helyén mozgó (virtuális) testek mozgási energiáját is figyelembe vegyük. Ennek elmulasztása láthatóan hibás eredményre vezetne.