Kezdőlap


Feladat:	3585. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Márton , Szabó Áron
Füzet:	2004/január, 49 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Megosztás, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Mozgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: 3585. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A derékszögben meghajlított nagyméretű (,,végtelen'' nagynak tekinthető) fémlap hatása olyan, mintha a $Q$ töltésnek a két síkra vonatkoztatott tükörképénél lenne egy-egy $- Q$ töltésű, a sarokra vonatkoztatott tükörképnél pedig egy $+ Q$ töltésű kicsiny test (1. ábra). (A fémlap mentén a négy töltés eredő potenciálja, amely egymást páronként kiejtő tagok összegeként áll elő, azonosan nulla, vagyis állandó. Ez a feltétel, amely az elektrosztatikában fémekre mindig igaz, a ,,kétszeresen tükrözött'' pontba helyezett $+ Q$ töltés nélkül nyilván nem teljesülne.)

1. ábra

a)

A testre ható eredő erő a három tükörtöltés által kifejtett

F_{1}

F_{2}

és

F_{3}

erő vektori összege (2. ábra), ahol

\begin{matrix} | F_{1} | = | F_{2} | = k \frac{Q^{2}}{{(2 d)}^{2}}, | F_{3} | = k \frac{Q^{2}}{{(2 \sqrt[]{2} d)}^{2}} . \end{matrix}

Ez az eredő erő az elrendezés szimmetriatengelye mentén hat (vagyis a fémlemez hajlata felé mutat), és a nagysága határozza meg a test kezdeti

a

gyorsulását:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} F_{1} + \frac{1}{\sqrt[]{2}} F_{2} - F_{3} = k \frac{Q^{2}}{8 d^{2}} (2 \sqrt[]{2} - 1) = m a, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{2 \sqrt[]{2} - 1}{8} \frac{k Q^{2}}{m d^{2}} \approx 0, 23 \frac{k Q^{2}}{m d^{2}} . \end{matrix}

2. ábra

b)

A test a fémlemez hajlata felé gyorsul, tehát az egyes lemezektől mért távolsága minden pillanatban megegyezik. Jelöljük ezt a távolságot

x

-szel! A testre ható eredő erő minden pillanatban a kezdeti erőhöz hasonlóan számítható. Az eredmény a fenti képlettől csak annyiban különbözik, hogy

d

helyett

x

szerepel benne. (Az erőt úgy számíthatjuk ki, hogy a ténylegesen mozgó testtel együtt mozgónak képzeljük el a ,,virtuális'' tükörtöltéseket is.)
Az eredő erő

F (x)

nagyságának ismeretében a test sebességét a munkatétel segítségével számíthatjuk ki. Az erő munkáját (amely megadja a test mozgási energiájának megváltozását) pl. integrálszámítással határozhatjuk meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = W = - \int_{d}^{d / 2} F (x) \sqrt[]{2} d x = k Q^{2} \sqrt[]{2} \frac{2 \sqrt[]{2} - 1}{8} \int_{d / 2}^{d} \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{4 - \sqrt[]{2}}{8} \frac{k Q^{2}}{d} . \end{matrix}

Innen a test sebessége

\begin{matrix} v = \sqrt[]{(1 - \frac{1}{2 \sqrt[]{2}})} \frac{k Q^{2}}{m d} \approx 0, 8 \sqrt[]{\frac{k Q^{2}}{m d}} . \end{matrix}

Elemi úton, integrálszámítás nélkül is meghatározhatjuk a test sebességét a kérdéses pontban. Képzeljük el, hogy a kezdőpillanatban vizsgált testtel azonos tömegű és az 1. ábrán látható töltésű valódi testeket helyezünk a tükörtöltéseknek megfelelő pontokba, majd a rendszert magára hagyjuk. Ekkor mind a négy test ugyanolyan módon fog gyorsulni, tehát a rendszer a mozgása során megőrzi a négyzet alakot és a négy test sebességének nagysága minden pillanatban egymással megegyező lesz. A rendszer teljes energiája ‐ vagyis a 4 test mozgási energiájának és a 6 töltéspár elektrosztatikus kölcsönhatási energiájának összege ‐ a mozgás során változatlan marad:

\begin{matrix} - 4 k \frac{Q^{2}}{2 d} + 2 k \frac{Q^{2}}{2 \sqrt[]{2} d} = 4 \cdot \frac{m v^{2}}{2} - 4 k \frac{Q^{2}}{2 (d / 2)} + 2 k \frac{Q^{2}}{2 \sqrt[]{2} (d / 2)} . \end{matrix}

Innen a sebességet kifejezve a korábbival megegyező kifejezést kapunk.

Megjegyzés. Nagyon lényeges, hogy a rendszer potenciális energiájának csökkenését ne csupán a ténylegesen mozgó (valódi) test mozgási energia-változásával tegyük egyenlővé, hanem a (ténylegesen nem létező, mindössze a számítást megkönnyítő) tükörtöltések helyén mozgó (virtuális) testek mozgási energiáját is figyelembe vegyük. Ennek elmulasztása láthatóan hibás eredményre vezetne.