Feladat: B.3645 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baráth Géza ,  Bekényi Balázs ,  Birkner Tamás ,  Birkus Róbert ,  Bódi Gergely ,  Czank Tamás ,  Filus Tamás ,  Gombkötő Tamás ,  Hubai Tamás ,  Jelitai Kálmán ,  Juhász Máté Lehel ,  Kaposvölgyi Lívia ,  Kormányos Balázs ,  Kórus Péter ,  Kovács Ádám Péter ,  Mánfay Máté ,  Mátyás Péter ,  Mészáros Tamás ,  Nándori Péter ,  Papp Márton ,  Pongrácz András ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Seres Gyula ,  Szabó Tamás ,  Szilágyi Csaba ,  Torma Róbert ,  Török Sándor Miklós 
Füzet: 2004/március, 156 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/május: B.3645

Határozzuk meg azokat a 0-tól különböző egészeken értelmezett f valós függvényeket, amelyekre minden lehetséges x és y esetén teljesül, hogy
f(x+y3)=f(x)+f(y)2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Használjuk a függvényre kirótt feltétellel ekvivalens

2f(x+y3)=f(x)+f(y)(1)
alakot.
Helyettesítsünk y helyébe 2x-et, ahol x>0: 2f(x+2x3)=f(x)+f(2x), ebből f(x)=f(2x), és ez teljesül minden x>0-ra. Ezért például
f(x)=f(2x)=f(4x).(2)

Írjunk most az (1) összefüggésben x és y helyére is 3x-et, x>0-val:
2f(2x)=f(3x)+f(3x),
innen
f(2x)=f(3x).(3)
(2)-ből és (3)-ból következik, hogy
f(x)=f(2x)=f(3x)=f(4x)
tetszőleges x>0-ra.
Speciálisan f(1)=f(2)=f(3)=f(4). Teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy pozitív egész számokra minden függvényérték f(1)-gyel egyenlő.
Tegyük fel, hogy 1-től (n-1)-ig (n-1>3) minden k számra igaz, hogy f(k)=f(1). Bebizonyítjuk, hogy ekkor f(n)=f(1).
Ha n=3m+d, ahol d=0, 1 vagy 2, akkor az x=3m+d, y=3-d helyettesítéssel x+y=3m+3, tehát 2f(m+1)=f(3m+d)+f(3-d).
Mivel 3-d=3, 2 vagy 1, így f(3-d)=f(1), továbbá 0<m+1<n, hiszen n=3m+d, ezért teljesül rá az indukciós feltétel, tehát f(m+1)=f(1), ebből következik, hogy 2f(1)=f(3m+d)+f(1), azaz f(n)=f(1).
Vizsgáljuk most a negatív egészeken felvett értékeket!
Legyen tetszőleges pozitív n esetén x=-n, y=n+3. Ekkor x+y=3, f(n+3)=f(1) a korábbi teljes indukció alapján, így 2f(1)=f(-n)+f(1), vagyis f(-n)=f(1).
Mindebből az következik, hogy f minden értelmezési tartománybeli helyen ugyanazt az értéket veszi fel.
Minden ilyen függvény eleget is tesz a feltételnek. Tegyük fel, hogy f(x)=c minden nullától különböző x egész számra. Ekkor
f(x+y3)=césf(x)+f(y)2=c,
azaz a konstans függvény valóban meg is felel.