Kezdőlap


Feladat:	B.3645	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baráth Géza , Bekényi Balázs , Birkner Tamás , Birkus Róbert , Bódi Gergely , Czank Tamás , Filus Tamás , Gombkötő Tamás , Hubai Tamás , Jelitai Kálmán , Juhász Máté Lehel , Kaposvölgyi Lívia , Kormányos Balázs , Kórus Péter , Kovács Ádám Péter , Mánfay Máté , Mátyás Péter , Mészáros Tamás , Nándori Péter , Papp Márton , Pongrácz András , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Seres Gyula , Szabó Tamás , Szilágyi Csaba , Torma Róbert , Török Sándor Miklós
Füzet:	2004/március, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3645

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Használjuk a függvényre kirótt feltétellel ekvivalens

\begin{matrix} 2 f (\frac{x + y}{3}) = f (x) + f (y) \end{matrix}

(1)

alakot.
Helyettesítsünk

y

helyébe

2 x

-et, ahol

x > 0

2 f (\frac{x + 2 x}{3}) = f (x) + f (2 x)

, ebből

f (x) = f (2 x)

, és ez teljesül minden

x > 0

-ra. Ezért például

\begin{matrix} f (x) = f (2 x) = f (4 x) . \end{matrix}

(2)

Írjunk most az (1) összefüggésben

x

és

y

helyére is

3 x

-et,

x > 0

-val:

\begin{matrix} 2 f (2 x) = f (3 x) + f (3 x), \end{matrix}

innen

\begin{matrix} f (2 x) = f (3 x) . \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3)-ból következik, hogy

\begin{matrix} f (x) = f (2 x) = f (3 x) = f (4 x) \end{matrix}

tetszőleges

x > 0

-ra.
Speciálisan

f (1) = f (2) = f (3) = f (4)

. Teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy pozitív egész számokra minden függvényérték

f (1)

-gyel egyenlő.
Tegyük fel, hogy 1-től

(n - 1)

-ig (

n - 1 > 3

) minden

k

számra igaz, hogy

f (k) = f (1)

. Bebizonyítjuk, hogy ekkor

f (n) = f (1)

.
Ha

n = 3 m + d

, ahol

d = 0

, 1 vagy 2, akkor az

x = 3 m + d

y = 3 - d

helyettesítéssel

x + y = 3 m + 3

, tehát

2 f (m + 1) = f (3 m + d) + f (3 - d)

.
Mivel

3 - d = 3

, 2 vagy 1, így

f (3 - d) = f (1)

, továbbá

0 < m + 1 < n

, hiszen

n = 3 m + d

, ezért teljesül rá az indukciós feltétel, tehát

f (m + 1) = f (1)

, ebből következik, hogy

2 f (1) = f (3 m + d) + f (1)

, azaz

f (n) = f (1)

.
Vizsgáljuk most a negatív egészeken felvett értékeket!
Legyen tetszőleges pozitív

n

esetén

x = - n

y = n + 3

. Ekkor

x + y = 3

f (n + 3) = f (1)

a korábbi teljes indukció alapján, így

2 f (1) = f (- n) + f (1)

, vagyis

f (- n) = f (1)

.
Mindebből az következik, hogy

f

minden értelmezési tartománybeli helyen ugyanazt az értéket veszi fel.
Minden ilyen függvény eleget is tesz a feltételnek. Tegyük fel, hogy

f (x) = c

minden nullától különböző

x

egész számra. Ekkor

\begin{matrix} f (\frac{x + y}{3}) = c és \frac{f (x) + f (y)}{2} = c, \end{matrix}

azaz a konstans függvény valóban meg is felel.