Feladat: B.3637 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gidófalvy Kitti 
Füzet: 2004/március, 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3637

Fel lehet-e venni a kocka minden élén egy-egy pontot úgy, hogy a 12 pont konvex burkának térfogata éppen a kocka térfogatának fele legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kocka oldaléle 1 egység hosszú. Minden élen vegyünk fel egy a oldalhosszúságú szakaszt úgy, hogy a kocka egy-egy csúcsába egyenlő hosszú szakaszok fussanak be. Így a kockából úgy juthatunk el a konvex poliéderhez, ha levágjuk a kocka sarkaiból az ott keletkező gúlákat. Kétféle gúla keletkezik, mindkét fajtából négy-négy. Akkor lesz a poliéder térfogata a kocka térfogatának a fele, ha a gúlák össztérfogata is éppen a kocka térfogatának a fele.

 
 

 
 

Az egyik fajta gúla térfogata VA=a36, a másiké pedig VB=(1-a)36. Mivel a gúlák össztérfogatának 12-nek kell lennie:
4VA+4VB=12,ahonnan12a2-12a+1=0.
a1,2=3±66, a kapott gyökök 1-nél kisebb pozitív számok (az összegük természetesen 1). Tehát az a-t a1-nek választva megfelelő konvex poliéderhez jutunk: fel lehet venni a 12 pontot a kocka élein a követelményeknek megfelelően. (a=a2 is lehetne, de így az előbbivel egybevágó megoldást kapunk.)