Kezdőlap


Feladat:	B.3637	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gidófalvy Kitti
Füzet:	2004/március, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: B.3637

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kocka oldaléle 1 egység hosszú. Minden élen vegyünk fel egy $a$ oldalhosszúságú szakaszt úgy, hogy a kocka egy-egy csúcsába egyenlő hosszú szakaszok fussanak be. Így a kockából úgy juthatunk el a konvex poliéderhez, ha levágjuk a kocka sarkaiból az ott keletkező gúlákat. Kétféle gúla keletkezik, mindkét fajtából négy-négy. Akkor lesz a poliéder térfogata a kocka térfogatának a fele, ha a gúlák össztérfogata is éppen a kocka térfogatának a fele.

Az egyik fajta gúla térfogata

V_{A} = \frac{a^{3}}{6}

, a másiké pedig

V_{B} = \frac{{(1 - a)}^{3}}{6}

. Mivel a gúlák össztérfogatának

\frac{1}{2}

-nek kell lennie:

\begin{matrix} 4 \cdot V_{A} + 4 \cdot V_{B} = \frac{1}{2}, ahonnan 12 a^{2} - 12 a + 1 = 0. \end{matrix}

a_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt[]{6}}{6}

, a kapott gyökök 1-nél kisebb pozitív számok (az összegük természetesen 1). Tehát az

a

-t

a_{1}

-nek választva megfelelő konvex poliéderhez jutunk: fel lehet venni a 12 pontot a kocka élein a követelményeknek megfelelően. (

a = a_{2}

is lehetne, de így az előbbivel egybevágó megoldást kapunk.)