Feladat: B.3635 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Boros Balázs 
Füzet: 2004/március, 154 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lapszögek, Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3635

Egy konvex poliédernek c csúcsa van. Mutassuk meg, hogy a poliéder lapjain levő belső szögek összege együttesen (c-2)360.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a poliéder lapjainak száma , éleinek száma é és csúcsainak száma c.
A poliéder minden lapján vegyünk fel egy belső pontot. Ezeket a belső pontokat kössük össze az adott lap csúcsaival. Így kialakul 2é darab háromszög, mivel minden él két laphoz és így két háromszöghöz tartozik. Eszerint a kialakult háromszögek belső szögeinek összege: 2é180. A kiválasztott belső pontok körül kialakult 360-os szögeket most nem kell számolnunk, mivel azok nem részei a feladatban összegzendő szögeknek. A háromszögek többi szöge viszont mind része valamelyik lapon lévő belső szögnek, és a lapokon lévő belső szögek mind le is vannak fedve a háromszögekkel. Tehát a keresett összeghez elég a háromszögek belső szögeinek összegéből levonnunk a lapokon felvett belső pontok körül kialakult 360-os szögeket, azaz 360-ot. Így 2é180-360=(é-)360-ot kapunk, ami az Euler-féle poliédertétel miatt (c+=é+2) éppen (c-2)360. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

 
Megjegyzés. A megoldáshoz nincs szükség az Euler-féle poliéder-tételre. Állítsuk poliéderünket egy lapjára, majd nagyítsuk ezt a lapot egy belső pontjából, a további csúcsok helyzetét pedig úgy változtassuk, hogy a megmaradó test konvex maradjon. Előbb-utóbb elérjük, hogy valamennyi ,,levegőben lévő'' csúcs vetülete a kiszemelt lap belsejébe esik. Levetítve ekkor a csúcsokat, a konvexitás miatt különböző csúcsok vetülete különböző, a kiszemelt lap egy sokszögekre történő felbontását kapjuk és eközben a szóban forgó szögösszeg nyilván nem változik.
Egy ilyen síkbeli hálózatban pedig a szögek összege nyilván (c1-2)360+c2360, ahol c1 a határoló sokszög csúcsainak a száma, c2 pedig a levetített csúcsoké. Mivel c1+c2=c, az állítás valóban teljesül.