A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a poliéder lapjainak száma , éleinek száma és csúcsainak száma . A poliéder minden lapján vegyünk fel egy belső pontot. Ezeket a belső pontokat kössük össze az adott lap csúcsaival. Így kialakul darab háromszög, mivel minden él két laphoz és így két háromszöghöz tartozik. Eszerint a kialakult háromszögek belső szögeinek összege: . A kiválasztott belső pontok körül kialakult -os szögeket most nem kell számolnunk, mivel azok nem részei a feladatban összegzendő szögeknek. A háromszögek többi szöge viszont mind része valamelyik lapon lévő belső szögnek, és a lapokon lévő belső szögek mind le is vannak fedve a háromszögekkel. Tehát a keresett összeghez elég a háromszögek belső szögeinek összegéből levonnunk a lapokon felvett belső pontok körül kialakult -os szögeket, azaz -ot. Így -ot kapunk, ami az Euler-féle poliédertétel miatt () éppen . Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Megjegyzés. A megoldáshoz nincs szükség az Euler-féle poliéder-tételre. Állítsuk poliéderünket egy lapjára, majd nagyítsuk ezt a lapot egy belső pontjából, a további csúcsok helyzetét pedig úgy változtassuk, hogy a megmaradó test konvex maradjon. Előbb-utóbb elérjük, hogy valamennyi ,,levegőben lévő'' csúcs vetülete a kiszemelt lap belsejébe esik. Levetítve ekkor a csúcsokat, a konvexitás miatt különböző csúcsok vetülete különböző, a kiszemelt lap egy sokszögekre történő felbontását kapjuk és eközben a szóban forgó szögösszeg nyilván nem változik. Egy ilyen síkbeli hálózatban pedig a szögek összege nyilván , ahol a határoló sokszög csúcsainak a száma, pedig a levetített csúcsoké. Mivel , az állítás valóban teljesül. |