Feladat: B.3595 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tóthmérész Lilla 
Füzet: 2004/március, 142. oldal  PDF file
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: B.3595

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
2x4+2y4-4x3y+6x2y2-4xy3+7y2+7z2-14yz-70y+70z+175=0.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldala páros kitevőjű hatványok összegeként írható:

(x-y)4+x4+y4+7(y2+z2-2yz-10y+10z+25)=0(x-y)4+x4+y4+7(z-y+5)2=0.
Páros kitevőjű hatvány értéke nem lehet negatív, így az összeg csak úgy lehet 0, ha valamennyi tag egyszerre egyenlő nullával.
Ehhez a következő feltételeknek kell egyszerre teljesülniük:
(x-y)4=0ésx4=0ésy4=0és7(z-y+5)2=0;vagyisx=yésx=0ésy=0ész-y+5=0.
Ezek teljesülhetnek is egyszerre, ha x=0, y=0 és z=-5. Ez tehát az egyenlet egyetlen megoldása, amelynek helyességét könnyen ellenőrizhetjük.