Kezdőlap


Feladat:	B.3595	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóthmérész Lilla
Füzet:	2004/március, 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: B.3595

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldala páros kitevőjű hatványok összegeként írható:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x - y)}^{4} + x^{4} + y^{4} + 7 (y^{2} + z^{2} - 2 y z - 10 y + 10 z + 25) & = 0 \\ {(x - y)}^{4} + x^{4} + y^{4} + 7 {(z - y + 5)}^{2} & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Páros kitevőjű hatvány értéke nem lehet negatív, így az összeg csak úgy lehet 0, ha valamennyi tag egyszerre egyenlő nullával.
Ehhez a következő feltételeknek kell egyszerre teljesülniük:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x - y)}^{4} = 0 & és & x^{4} = 0 & és & y^{4} = 0 & és & 7 {(z - y + 5)}^{2} = 0; & vagyis \\ x = y & és & x = 0 & és & y = 0 & és & z - y + 5 = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ezek teljesülhetnek is egyszerre, ha

x = 0

y = 0

és

z = - 5

. Ez tehát az egyenlet egyetlen megoldása, amelynek helyességét könnyen ellenőrizhetjük.